Una explicación de la fórmula para el valor presente de una anualidad

Estoy leyendo un libro que da tres fórmulas. En todas estas fórmulas:

$x$ es la cantidad de dinero que se recibirá en el futuro
$n$ es el número de años
$r$ es la tasa de interés.

El primero es el valor presente de una suma global : . Bastante autoexplicativo. Supongamos que quisiera dólares en años y podría invertir dinero a una tasa de rendimiento del , ¿qué cantidad de dinero tendría que invertir hoy para tener dólares en años? . Alternativamente, si tengo dólares hoy y se deprecia a una tasa del anual durante años, valdría dólares en años. $PV = x / (1 + r) ^n$ $100$ $20$ $5\%$ $100$ $20$ $100 / (1.05) ^{20} = 37.69$ $100$ $5\%$ $20$ $37.69$ $20$

La segunda fórmula es la fórmula para el valor presente de una perpetuidad : ( es la cantidad de dinero que se recibirá al final de cada año para siempre. Por lo tanto, obtener dólares al final de cada año para siempre sería lo mismo que obtener dólares hoy, suponiendo que pueda invertir eso a una tasa del por año. $PV = x / r$ $x$ $100$ $2000$ $5\%$

La tercera fórmula parece combinar los dos: la fórmula para el valor presente de una anualidad : ( es la cantidad de dinero recibido al final de cada año por años). $PV = (x / r) - ((x / (1 + r) ^ n) / r)$ $x$ $r$

Observe que el lado izquierdo es exactamente la fórmula para el valor presente de una perpetuidad. El lado derecho es el valor presente de una suma global dividida por . $r$

Estoy tratando de entender la tercera fórmula. ¿Cómo lo derivaría alguien? ¿Por qué restamos el valor presente de una suma global del valor presente de una perpetuidad? Entiendo intuitivamente que una anualidad debe tener un valor presente más bajo que una perpetuidad. Si , debe haber alguna forma de indicar que los pagos se suspenden después de años. No estoy seguro de cómo se incorpora esto a esta fórmula. $r = 20$ $20$

investment

— Vlad el Impala
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Tome su segunda declaración: es el valor presente de una perpetuidad que paga partir de ahora (primer pago en el año ) $\dfrac{x}{r}$ $x$ $1$

Ahora considere el valor presente de una perpetuidad pagando con el primer pago en el año . Este es el valor en el año de , descontado hasta ahora, dividiendo entre para dar $x$ $n+1$ $n$ $\dfrac{x}{r}$ $(1+r)^n$ $\dfrac{x}{(1+r)^n r}$

Entonces, el valor presente de una anualidad que paga durante los primeros años es la diferencia entre estos, a saber, $x$ $n$ $\dfrac{x}{r}-\dfrac{x}{(1+r)^n r}$

Un enfoque alternativo sería considerar la suma de los valores actuales de los pagos y puede calcular esto usando lo siguiente para permitir la cancelación que desde convierte en $n$

S = \frac{x}{(1 + r)} + \frac{x}{(1 + r)^{2}} + \dots + \frac{x}{(1 + r)^{n}}

$S= \dfrac{x}{(1+r)} + \dfrac{x}{(1+r)^2} + \cdots + \dfrac{x}{(1+r)^{n}}$

(1 + r) S - S = x - \frac{x}{(1 + r)^{n}}

$(1+r)S - S = x - \dfrac{x}{(1+r)^n}$

(1 + r) S - S = r S

$(1+r)S-S=rS$

S = \frac{x}{r} - \frac{x}{(1 + r)^{n} r}

$S=\dfrac{x}{r}-\dfrac{x}{(1+r)^n r}$

Vale la pena señalar que el segundo término tiende a cero si aumenta, por lo que el valor o el costo de una anualidad a largo plazo se aproxima al de una perpetuidad $n$

— Enrique
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