Mercados completos en tiempo continuo

En las economías de tiempo discreto estándar con un número finito de estados, , una economía de mercado completa es simplemente una economía con activos independientes (Think Ljunqvist y Sargent Capítulo 8). Esto se debe a que activos independientes son suficientes para abarcar el conjunto de estados del mañana.n $n$$n$$n$

Tuve una discusión con un profesor la semana pasada en la que afirmó que una de las comodidades del tiempo continuo al pensar en la fijación de precios de activos es que dentro de una economía de tiempo continuo uno puede obtener mercados completos simplemente con un bono libre de riesgo y un activo riesgoso ( independiente) para cada movimiento browniano en la economía.

Lo explicó mientras hablábamos, así que creo que lo entiendo principalmente, pero me preguntaba si a alguien le importaría escribir los detalles.

Probablemente pasaré uno o dos días esta semana (depende de algunas de las propiedades del cálculo diferencial), por lo que si nadie más responde la pregunta, entonces espero poder dar una respuesta satisfactoria.

Soy la última persona que debería responder preguntas continuas como estas, pero si no hay nadie más, supongo que lo intentaré. (Cualquier corrección de mis finanzas de tiempo continuo apenas recordadas es muy bienvenida).

Mi impresión siempre ha sido que esto se interpreta mejor como consecuencia del teorema de la representación martingala . Primero, sin embargo, estableceré algo de notación. Deje que el espacio de probabilidad sea generado por los procesos independientes de Wiener . Supongamos que hay activos, donde el valor del ésimo activo en viene dado por . Suponga que el activo es un bono sin , mientras que los activos son riesgosos y están impulsados ​​por el : ( Z 1 t , … , Z n t ) n + 1 i t S i t i = 0 d S 0 t = r t S 0 t d t i = 1 , … , n Z i t d S i t = μ i t d t + σ i t d $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$ mtm0=1mtS i t idmt=νtdt+ψt⋅dZt

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ Suponga que hay un proceso SDF estrictamente positivo normalizado a , de modo que es una martingala para cada (básicamente la definición de SDF) y donde (uso como el producto de punto, que será conveniente).$m_t$$m_0=1$$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Finalmente, dejemos que el vector dimensional sea ​​nuestro portafolio en el tiempo , de modo que el valor neto esté dado por . Suponga que es fijo y que además tenemos Ahora declararé el objetivo, que captura la esencia de los mercados completos. Supongamos que el mundo se acaba en el momento , y que queremos patrimonial para igualar una cierta estocástico , que puede depender de la historia completa hasta el tiempo . Supongamos que , de modo que en un mundo con mercados completos podríamos (enθ t t A t A t = θ t ⋅ S t A $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$ T A T Y T A 0 = E 0 [ m T Y ] t = 0 A 0 t = T Y θ t A T =

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$$Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$ ) utilizar nuestra riqueza inicial comprar el tiempo desembolso . En ausencia de estos mercados completos directos, la pregunta es si existe alguna estrategia para la cartera que nos permita obtener en todos los estados del mundo. Y la respuesta, en este contexto, es sí.$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$$A_T=Y$

Primero, se puede calcular . Por tanto, siendo una martingala implica que es una martingala. Por lo tanto, tenemos iff para todos los . Tenga en cuenta que esto es cierto para por suposición; por lo tanto, para lograr la igualdad, solo es necesario demostrar que los incrementos son siempre iguales en ambos lados.m t S t m t A t A T = Y ⟺ m T A T = m T Y m t A t = E t [ m T Y ] t ∈ [ 0 , T ] t = $d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

Ahora entra en teorema de la representación martingala. Dado que es una martingala, podemos escribir para algunos procesos predecibles . Por lo tanto, debemos poder mostrar . Escribiendo vemos que necesitamos para cada activo riesgoso , que podemos invertir para dar la opción de cartera necesaria : La opción de cartera de activos sin riesgoE θ i t σ i t + A t ψ i t ) d Z i t m t θ i t σ i $E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$luego se puede retirar de .$A_t=\theta_t\cdot S_t$

La intuición aquí es simple: siempre necesitamos que ajuste para mantener la igualdad , pero tanto la expectativa de la derecha como la SDF de la izquierda se mueven en respuesta a los procesos de conducción . Por lo tanto, debemos elegir una cartera manera que precisión estos movimientos y la ecuación continúe manteniéndose. Y siempre podemos hacer esto siempre que localmente, nuestros activos abarquen todos los riesgos , lo que puede ocurrir de manera más general, incluso para activos correlacionados siempre que sus incrementos sean localmente linealmente independientes. (El caso aquí dem t A t = E t [ m T Y ] m t d Z i t θ t d A t d Z i $A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$ los activos de riesgo que cada movimiento por un movimiento browniano independiente es especial).

He tenido la intención de publicar esto durante mucho tiempo. Encontré esto y pensé que podría agregar alguna idea. Este ejemplo es de "Teoría de fijación de precios de activos financieros" de Munk.

Considere la siguiente figura. ¿Cuántos activos necesitamos para tener un mercado completo?

Puede pensar que, debido a que hay 6 estados diferentes aquí, necesitamos al menos 6 activos diferentes. En una configuración estática, sabemos que cuando tenemos estados diferentes, debemos tener "activos suficientemente diferentes" (en la configuración estática habitual, esto significa linealmente independiente). Sin embargo, en la configuración dinámica, este no es el caso. Munk explica esto basado en dos observaciones diferentes:$N$$N$

(i) la incertidumbre no se revela completamente de una vez, sino poco a poco, y (ii) podemos comerciar dinámicamente en los activos. En el ejemplo, hay tres posibles transiciones de la economía del tiempo 0 al tiempo 1. De nuestro análisis de un período sabemos que tres activos suficientemente diferentes son suficientes para "abarcar" esta incertidumbre. Del tiempo 1 al tiempo 2 hay dos, tres o una transiciones posibles de la economía, dependiendo del estado en que se encuentre la economía en el momento 1. A lo sumo, necesitamos tres activos suficientemente diferentes para abarcar la incertidumbre durante este período. En total, podemos generar cualquier proceso de dividendos si solo tenemos acceso a tres activos suficientemente diferentes en ambos períodos.

En el caso de una versión de árbol multinomial general de un mercado de tiempo discreto de estado finito más general, podemos definir para cada nodo del árbol el número de expansión como el número de ramas del subárbol que salen de ese nodo. El mercado se completa si, para cualquier nodo en el árbol, el número de activos negociados linealmente independientes durante el período siguiente es igual al número de expansión.

Ahora, en el caso de un modelo de tiempo continuo donde la incertidumbre es generada por un movimiento browniano estándar d-dimensional, el argumento es complicado, pero Munk ofrece algunas ideas basadas en la discusión previa.

El resultado es bastante intuitivo dadas las siguientes observaciones:

1. Para cambios continuos en un instante, solo importan los medios y las variaciones.
2. Podemos aproximar el choque d-dimensional mediante una variable aleatoria que toma valores posibles y tiene la misma media y varianza que . Por ejemplo, un choque unidimensional tiene media cero y varianza . Esto también es cierto para una variable aleatoria que es igual a con una probabilidad de e igual a con probabilidad . ...$dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$ 1/2-$\sqrt{dt}$$1/2$ 1/$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Con el comercio continuo, podemos ajustar nuestra exposición a los shocks exógenos en cada instante.

En cada instante, podemos pensar en el modelo con incertidumbre generado por un movimiento browniano estándar d-dimensional como un modelo de tiempo discreto con estados . Por lo tanto, solo se necesitan activos suficientemente diferentes para completar el mercado.d + $d+1$$d+1$