Cálculo y curvas de indiferencia en un ejemplo de economía urbana

Estoy leyendo el documento ' La estructura de los equilibrios urbanos ' de Jan Brueckner.

Utiliza un modelo de ciudad monocéntrica, donde todos los consumidores obtienen ingresos en el centro de la ciudad. Compran viviendas por un precio a una distancia del centro, incurriendo en costos de transporte .q p x t $y$$q$$p$$x$$tx$

Los consumidores tienen una función de utilidad:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

donde$\phi=x,y,t,u$

La restricción presupuestaria es:

$c = y - tx - pq$

La condición de tangencia implica:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

donde el subíndice 1 denota diferenciación parcial wrt el primer argumento, etc.

Luego, el documento describe cómo y varían con y .$p$$q$$x, y, t$$u$

Si , nos mantenemos en la misma curva de indiferencia. Me parece relativamente sencillo encontrar y .$\phi=x,y,t$$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

Si es la pendiente de la curva de demanda compensada por el ingreso, entonces .$\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

Ahora para permitir para variar. La restricción presupuestaria gira para cumplir con una nueva curva de indiferencia, determinando los nuevos y .p $u$$p$$q$

Puedo encontrar . Diferenciar totalmente la función de utilidad wrt u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Dado que, por la condición de tangencia :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Entonces .$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

El documento luego cita:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

No sé cómo derivar esto. Supongo que el primer término entre corchetes es un efecto de sustitución y el segundo término es un efecto de ingreso.

Por favor, ayúdame a entender esta última expresión y cómo derivarlo.$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$