Preferencia relación representación de valor sin incertidumbre.

Sea $ \ succeq $ una orden débil en $ \ mathbb {R} ^ n $. Si

1. $ x \ geq y \ Rightarrow x \ succeq y $
2. para cualquier $ x \ succ y \ succ z $ existe un $ \ lambda \ in (0,1) $ único tal que $ y \ sim \ lambda x + (1- \ lambda) z $,

entonces existe una representación de valor de $ \ succeq $.

¿Podría alguien darme un ejemplo donde se pueda aplicar el teorema de representación del valor (sin incertidumbre) en el espacio euclidiano dimensional $ n $ y un ejemplo de contador que no se pueda aplicar?

Primero, considere la relación de preferencia $ \ succeq $ definida por \ begin {equation *} x \ succeq y \ text {if} x_1 + \ cdots + x_n \ geq y_1 + \ cdots + y_n \ end {ecuación *}

Esta relación de preferencia satisface sus suposiciones. De hecho, supongamos que $ x \ succ y \ succ z $. Puede verificar que $ y \ sim \ lambda x + (1- \ lambda) z $ para un $ \ lambda $ único definido por \ begin {equation *} \ lambda = \ dfrac {y_1 + \ cdots + y_n- (z_1 + \ cdots + z_n)} {x_1 + \ cdots + x_n- (z_1 + \ cdots + z_n)} \ end {ecuación *}

Y estas preferencias obviamente admiten la representación de la utilidad $ u (x) = x_1 + \ cdots + x_n $.

Ahora, considere la relación de preferencia lexicográfica $ \ succeq $ definida (tomo $ n = 2 $ por simplicidad) por \ begin {equation *} x \ succ y \ text {if} (x_1 & gt; y_1) \ text {o} (x_1 = y_1, x_2 & gt; y_2) \ end {ecuación *} Las preferencias lexicográficas tienen dos propiedades importantes:

• $ x \ sim y $ if y solo si $ x = y $
• no tienen representación de utilidad

Si $ x = (1,1) $, $ y = (0,1) $ y $ z = (0,0) $, tenemos $ x \ succ y \ succ z $. Además, cualquier $ \ lambda & gt; 0 $ es tal que $ \ lambda x + (1- \ lambda) z \ succ y $. Por lo tanto, la suposición 2. no es válida, y la conclusión del teorema (existencia de una representación de utilidad) tampoco es válida.