Linealización logarítmica de la ecuación de Euler con un término de expectativa

Hay algunos recursos en línea disponibles para ayudar con la linealización logarítmica (por ejemplo, aquí o aquí ). Sin embargo, la linealización logarítmica donde está involucrada una expectativa es un poco difícil porque el registro no puede simplemente "pasar" al operador de expectativa. ¿Alguien podría ayudar con el álgebra en este ejemplo?

Tengo la ecuación de Euler (ecuación 1) donde . Estoy tratando de obtener una expresión para la tasa libre de riesgo y una expresión para la prima de equidad. ¿Cómo debo hacer esto?

$$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$$ $\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

En el segundo enlace de arriba parece que debería comenzar reemplazando las variables de interés como . Luego, siguiendo los pasos dados, parece que debería llegar a (ecuación 2)$C_t = c e^{\tilde C_t}$

$$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$$

¿Pero a dónde voy desde aquí?

EDITAR:

1. Copié la ecuación 1 directamente de las notas que tengo. Es probable que el término de la derecha, $1 + R_{i,t+1}$ , esté entre paréntesis $(1 + R_{i,t+1})$ . En mi intento inicial de linealización logarítmica lo he tratado de esta manera.

2. En la ecuación 2, he seguido los pasos de la instrucción que se pueden encontrar en el segundo enlace al principio. Entonces, y sin subíndices de tiempo son estos valores en estado estacionario.R $R_i$$R_m$

3. R i$R_m$ es el rendimiento de la cartera del mercado y es el rendimiento del activo .$R_i$$i$

EDITAR 2:

Gracias por los útiles comentarios. Entonces, de lo que he reunido hasta ahora, debería obtener algo como esto:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$$

Entonces esto implicaría que la tasa libre de riesgo se encuentra de la siguiente manera:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$$

¿Es esto correcto? Y ahora, para terminar la pregunta, ¿cómo encontraría la prima de equidad?

Ignoremos por el momento la existencia del valor esperado. Si se tratara de una configuración determinista, la linealización a través de la toma de registros sería sencilla y sin los trucos de los enlaces que proporcionaba el OP. Tomando registros naturales en ambos lados de la primera ecuación obtenemos:

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$$

Conjunto

$$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$$

Además, tenga en cuenta que es una aproximación estándar escribir al menos para . Por lo general, este es el caso con las tasas de crecimiento y las tasas financieras, por lo que obtenemos| a | < $\ln (1+a) \approx a$$|a|<0.1$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$$

que es una relación dinámica clara que une las tres variables presentes. Si en el modelo, el estado estacionario se caracteriza por el consumo constante y los rendimientos constantes, entonces tendremos y entonces la relación de estado estacionario será$\hat c_{t+1} =0$

$$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$$

Pero hicimos todo esto ignorando el valor esperado. Nuestra expresión es , no solo . Ingrese la expansión de Taylor de primer orden de . Necesitamos un centro de expansión. Representa las cuatro variables simplemente con (no hace daño que una variable con index esté presente en ). Elegimos expandir la función alrededor de . Entoncesf(Ct,C t + 1 ,R m , t + 1$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$t + $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$z t + 1 t $f()$$\mathbf z_{t+1}$$t$$\mathbf z_{t+1}$$E_t(\mathbf z_{t+1})$

$$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$$

Entonces

$$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$$

Obviamente, esta es una aproximación, es decir, tiene un error, aunque solo sea por la desigualdad de Jensen. Pero es una práctica estándar. Luego vemos que todo el trabajo previo que hicimos en la versión determinista, se puede aplicar en la versión estocástica insertando valores esperados condicionales en lugar de las variables. Entonces eq. está escrito$(3)$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$$

Pero, ¿ dónde están los valores de estado estacionario ? Bueno, los valores de estado estacionario en un contexto estocástico son un poco difíciles: ¿estamos argumentando que nuestras variables (que ahora se tratan como variables aleatorias) se convierten en constantes ? ¿O hay otra forma de definir un estado estacionario en un contexto estocástico?

Hay más de una forma. Uno de ellos es el "estado estable de previsión perfecta", donde pronosticamos perfectamente un valor no necesariamente constante (este es el concepto de "equilibrio como expectativas cumplidas"). Esto se usa, por ejemplo, en el libro de Jordi Gali mencionado en un comentario. El "estado estable de previsión perfecta" se define mediante

$$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$$

Bajo este concepto, la ec. convierte en ec. que ahora es la ecuación de la economía de "estado estacionario estocástico de previsión perfecta".$(7)$$(3)$

Si queremos una condición más fuerte, diciendo que las variables se vuelven constantes en el estado estacionario, entonces también es razonable argumentar que, nuevamente, su pronóstico eventualmente será perfecto. En ese caso, el estado estacionario de la economía estocástica es el mismo que el de la economía determinista, es decir, la ecuación. .$(4)$

La aproximación correcta es . Esto es imparcial, mientras que no lo es. Para ver esto, proyecte en , donde la "barra" representa el operador esperado. Luego, aproxima Esta aproximación es exacta cuando se distribuye normalmente (por el lema de Stein).$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$$f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$

$$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$$ $x$

EDITAR:

Para aclarar, vea que la proyección de en nos da , donde y . Si usamos el lema de Stein para aproximar como se describió anteriormente, nos quedamos con que es imparcial, Por otro lado, x - $f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$$f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$$E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ βf(x)≈$\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$$\beta$

$$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$$ $$E[\epsilon] = 0.$$ $$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$$

Su problema parece ser una ecuación de precios de activos con preferencias recursivas (Epstein-Zin). Cuando está interesado en los precios de los activos, hay que tener cuidado con la linealización "macroeconómica" habitual. Tal aproximación es equivalente a la certeza, lo que significa que los coeficientes de la solución linealizada no dependen del tamaño de los choques. Además, todas las variables en solución linealizada fluctuarán alrededor de sus estados estacionarios deterministas. Como resultado, las primas de riesgo son cero, lo que desafía el punto.

Una solución es utilizar métodos de perturbación de orden superior (segundo orden para obtener primas de riesgo constantes, tercer orden para primas que varían en el tiempo). Esto es fácil de hacer con el software existente (por ejemplo, Dynare) si de todos modos desea resolver el modelo numéricamente (en cuyo caso tampoco es necesario linealizar manualmente). Si se prefiere una solución analítica (aproximada), la forma habitual es linealizar la dinámica de las cantidades (por ejemplo, el crecimiento del consumo), luego obtener los precios de los activos directamente de la ecuación de Euler, calculando las expectativas utilizando el supuesto de lognormalidad, como en Bansal y Yaron (2004) .

Por ejemplo, si las variables en minúsculas son registros, la ecuación de Euler habitual se puede reescribir como

$$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$$

Si son (condicionalmente) conjuntamente normales, lo anterior implica$m_{t+1},r_{t+1}$

$$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$$

La tasa libre de riesgo debe satisfacer , o$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

$$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$$

y así debemos tener

$$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$$

Para calcular realmente los precios de los activos, entonces uno

• expresar log-SDF como una función lineal de algunas variables de estado y choques (p. ej., crecimiento del consumo de registros en el caso de CRRA)

• linealizar el rendimiento en términos de relación logarítmica dividendo-precio (aproximación Campbell-Shiller), sustituirlo por (1).

• exprese la relación log D / P como variables de estado lineales, luego utilice el método de coeficientes indeterminados para obtener una solución que satisfaga (1).

En la práctica es un poco más complicado (especialmente con las preferencias de EZ, cuando uno tiene que usar el enfoque primero para obtener el rendimiento del mercado que ingresa al SDF, luego la segunda vez para otros retornos), pero se pueden encontrar más detalles, por ejemplo, en el enlace Bansal & Yaron papel.