Función de Leontief producto marginal del trabajo / capital

Encuentre el producto marginal del trabajo de una función de producción de Leontief. Por ejemplo,

MI INTENTO

Ahora que entiendo que es el producto marginal del trabajo, de esta función no se puede encontrar de la manera "normal" porque esta función no es diferenciable. Sin embargo, por definición, producto marginal del trabajo significa la producción extra cuando uno pone una unidad de trabajo adicional. Asumimos que el capital se mantiene constante.$MP_L$

Digamos, producimos originalmente unidades de salida.$q$

Por lo tanto, si donde estamos aumentando la cantidad de trabajo, entonces estamos en la porción vertical de la isocuanta (Trabajo en el eje horizontal, Capital en vertical). Por lo tanto, sería aumentar nuestra producción porq+ΔL.$\frac{L}{a}+\Delta L < \frac{K}{b}$$q+\Delta L$

$\frac{L}{a}+\Delta L>\frac{K}{b}$$q$

$\bar{K}$

Por lo tanto, el trabajo óptimo es:

El producto marginal del trabajo depende de cómo el trabajo real se relaciona con el trabajo óptimo :

• $L = L^*$$L$$K$$\frac{b}{a}$$\dfrac{dQ}{dL}=0$

• $L > L^*$$\frac{b}{a}$$\dfrac{dQ}{dL}=0$

• $L < L^*$$\frac{b}{a}$$L$$L^*$

  • $L^*-L > 1$$MP_L = \dfrac{1}{a}$$Q_0=\dfrac{L_0}{a}$$Q_1=\dfrac{L_0 +\Delta L}{a}$$\dfrac{dQ}{dL}=\dfrac{1}{a}$

  • $L^*-L = 1$

  • $L^*-L < 1$$\dfrac{1}{a}$$\dfrac{1}{a} \times (L^*-L)$

Un ejemplo gráfico se puede ver a continuación:

$L_0$$L$$q_0$$K>\bar{K}$

Si está interesado (en mi búsqueda personal a favor de Open Economics), aquí está el código R del gráfico:

plot(c(0,5), c(0,5), type = "n", xlab = "Labour", ylab = "Capital", yaxt='n', xaxt='n', bty='l', mgp=c(1,1,0))
segments(0, 0, 4.7, 4.7,lwd=2)
text(4.9, 4.8, expression(frac(b,a)),cex = 1.3)
points(2, 2, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5)
segments(2, 2, 2, 5,lwd=2.5)
segments(2, 2, 4.7, 2,lwd=2.5)
text(4.9, 2,  expression(q[0]),cex = 1.3)
text(2.4, 1.75, expression(paste("(",L[0],",",bar(K),")")),cex = 1.3)
points(3.5, 2, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5)
text(3.5, 2.3, expression(L>L[0]),cex = 1.3)
points(2, 3.5, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5)
text(2.4, 3.5, expression(K>bar(K)),cex = 1.3)