Maximice la utilidad dada una cantidad arbitraria de productos y la condición de que se debe comprar exactamente X número de artículos

¿Cómo se maximiza la utilidad dada una restricción presupuestaria, un número arbitrario de productos diferentes (con utilidad y precios variables) y la condición agregada de que se debe comprar exactamente X número de artículos?

Supongo que esto debe hacerse algorítmicamente, pero no tengo idea de cómo.

El problema de maximización de la utilidad es \ begin {eqnarray *} \ max_ {x_1, x_2, \ ldots, x_n} & amp; & amp; u (x_1, x_2, \ ldots, x_n) \\ \ text {s.t.} & amp; & amp; \ sum_ {i = 1} ^ n p_ix_i \ leq M \\ & amp; & amp; \ sum_ {i = 1} ^ n x_i = X \\ & amp; & amp; x_i \ in \ mathbb {Z} _ + \ \ \ para todos i \ in \ {1,2, \ ldots, n \} \ end {eqnarray *}

Si ignoramos la restricción de presupuesto, la ecuación $ \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n x_i = X $ tiene $ {X + n-1 \ elige n-1} $ soluciones. Enumérelas, clasifíquelas de alta a baja por utilidad, y luego identifique la más alta en la lista ordenada que también satisfaga la restricción de presupuesto.

Si $ u $ es estrictamente creciente, diferenciable y cuasi cóncavo en $ \ mathbb {R} _ + ^ n $, entonces uno puede resolver el problema de maximización de la utilidad de la manera habitual ignorando $ \ sum_ {i = 1} ^ n x_i = X $ restringe, y luego inspecciona las soluciones integrales de $ \ sum_ {i = 1} ^ n x_i = X $ que rodea la solución del problema de maximización de la utilidad, y elige la mejor entre ellas para obtener la solución final.

Tu problema es

$$ \ max U (z_1, ..., z_n) $$

$$ s.t. \ sum p_iz_i \ leq I $$

y

$$ s.t. \ sum z_i = X, \; \; \; z_i \ en N $$

Así que tienes una restricción lineal adicional, pero también Como se señaló en un comentario, la restricción $ z_i \ in N $ hace que esto sea un problema de optimización en el que las variables de decisión son discretas (específicamente enteros), lo que significa que, formalmente hablando, no se tienen derivados.

En la práctica, muchos problemas de optimización discreta son atacados por "simular" que podemos calcular derivadas (así que forme el Lagrangiano con las dos restricciones, obtenga las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker, etc.), obtenga el vector maximizador de esta manera, y luego verifique qué sucede cuando redondeamos hacia arriba o hacia abajo sus elementos para que se conviertan en números enteros.

También debe verificar que la restricción de presupuesto no se haya violado en estos redondeos y permitir solo aquellas combinaciones que no lo hagan. En este caso, la restricción del presupuesto como desigualdad es importante porque el vector maximizador permisible de $ z_i $ 'probablemente no agotará completamente el presupuesto.

Ver aquí para algunos bits introductorios en Programación Integer.

Dennis: tal como está, tu pregunta no siempre es posible responder. Al menos, no en la forma en que creo que te interesa. Específicamente, restringir las opciones de un consumidor a un conjunto finito y arbitrario de opciones, otorgarle a ese agente cierta cantidad de riqueza y luego exigir que el consumidor compre una cierta cantidad de productos no siempre es factible cuando esos productos se discretizan.

Supongamos que algún agente $ i $ tiene riqueza $ w $ y enfrenta opciones entre productos en el conjunto
$ G \ equiv $ {$ g_1, ..., g_n $} donde asumimos que podemos indicar los precios en el precio de. $ p_ {g1} & lt; p_ {g2} & lt; ... & lt; p_ {gn} $. Si suponemos que $ w & lt; p_ {g1} $, no podemos satisfacer ningún tipo de requisito de que este agente deba comprar una cantidad mínima de productos, ya sea que definamos el mínimo sobre los tipos o cantidades de productos. Este es solo el ejemplo más simple del que puedo pensar para ilustrar un punto. También podría pensar en términos de la necesidad de cumplir con algún requisito mínimo de $ n $ bienes. Además, podríamos tener ese agente $ i $ faces $ w-p (n-1) $

El único "máximo" que puede alcanzar el agente $ i $ es $ U (w) $, ya que este agente no puede participar en este mercado.