Condición de transversalidad en el modelo de crecimiento neoclásico

En el modelo de crecimiento neoclásico existe la siguiente condición de transversalidad:

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$$ donde $k_{t+1}$ es la capital en el período $t$ .

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo derivamos esta condición?

2. ¿Por qué exigimos esto, si queremos descartar caminos sin acumulación de deuda?

3. ¿Por qué los multiplicadores de Lagrange $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ el valor actual descontado de la capital?

La condición de transversalidad puede entenderse más fácilmente si partimos de un problema con el horizonte finito.

En la versión estándar, nuestro objetivo es sujeto para con dado. El lagrangiano asociado (con multiplicadores , y ) es Los FOC son f ( k t ) - c t - k t +

$$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$$ $$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$$ $k_0$$\lambda_t$$\mu_t$$\omega_t$ $$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$$ $$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$$ con las condiciones de holgura complementarias de Kuhn-Tucker: para , Dado que la restricción de recursos debe ser vinculante en todos los períodos, es decir, para todo , se deduce que en el último período , , .$t=0,\dots,T$ $$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$$ $\lambda_t>0$$t$$T$$\omega_T=\lambda_T>0$$k_{T+1}=0$

Por lo general, suponemos que para todo (la condición de Inada), y esto implica para todo . Entonces el FOC de consumo se convierte en $c_t>0$$t$$\mu_t=0$$t$

$$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$$

Mirando las condiciones y en el último período , obtenemos Extendiendo esto al horizonte infinito, obtenemos la condición de transversalidad ( 2 ) ( 3 ) T β T u ′ ( c T ) k T + 1 = 0 lim T → ∞ β T u ′ ( c T ) k T + 1 = $(1)$ $(2)$$(3)$$T$

$$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$ $$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$

La intuición de la condición de transversalidad es en parte que "no hay ahorros en el último período". Pero como no hay un "último período" en un entorno de horizonte infinito, tomamos el límite a medida que el tiempo llega al infinito.

En mi opinión, la mejor derivación es por lógica. Piénselo de esta manera: si lo único que le estamos diciendo al hogar es maximizar su utilidad, el comportamiento óptimo sería simplemente endeudarse infinitamente y consumir infinitamente. Esta no es una solución sensata. Por lo tanto, necesitamos otra condición de optimización. Esto debería responder a la pregunta 2.

En un entorno de horizonte finito, la viabilidad se lograría al tener que pagar la deuda en el último período. Esto no es posible en una configuración de horizonte infinito. Sin embargo, "descartar la acumulación de deuda", como sugiere, es una condición demasiado estricta (¡la condición de transversalidad permite la deuda!).

Para responder la pregunta 3, veamos el término . Representa la ganancia de utilidad (marginal) (en utilidades de valor presente) de desplazar unidades de capital al período t y consumirlas. Si esta ganancia de utilidad fuera positiva en el infinito, podríamos aumentar la utilidad general consumiendo más en el "período infinito", por lo tanto, nuestra ruta de capital no sería óptima. k t + $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$$k_{t+1}$

Para la pregunta 1: para derivar esta condición, puede hacer el argumento lógico que acabo de hacer, mostrando que sin la condición de transversalidad, la ruta de capital no es óptima o, para una prueba matemática, puede verificar, por ejemplo, Según las notas de Krusell (aunque es bastante difícil de entender)