Encontrar distribuciones de riqueza a partir de funciones de utilidad

Maximizar

$$\begin{align} U_1(x) \qquad & (1)\\ \text{s.t.} \quad U_2(a-x) = c \qquad & (2)\\ \end{align}$$

donde tenemos paquetes y queremos dividir nuestros recursos entre los dos usuarios.$x = (x_1, x_2), \quad a = (3,5)$

$$\begin{align} U_1(x_1, x_2) & = (x_1 + 1)x_2 \\ U_2(x_1, x_2) & = 36 - (x_1 - 4)^2 - (x_2 - 6)^2 \end{align}$$

La pregunta es

En las ecuaciones $(1)–(2)$ , elegir diferentes $c$ conduciría a diferentes $x$ . Encuentra todos esos $x$ con $x_1 ∈ [0, 3]$ y $x_2 ∈ [0, 5]$ . Ese conjunto de puntos comprenderá aquellas distribuciones de riqueza que sean razonables en el sentido de que la utilidad de ninguna persona puede mejorarse sin dañar a otra persona.

No entiendo cómo se puede resolver $(1)-(2)$ , ya que creo que esto da

$(x_1 + 1)x_2 - 36 − (x_1 − 4)^2 − (x_2 − 6)^2 = c$

Puedo trazar esto como $c = f(x_1,x_2)$ , pero siento que esto no es lo que pide la pregunta, ya que no define un conjunto de puntos. Si alguien puede darme la dirección para seguir con esta pregunta, o avisarme si necesito proporcionar más información. Gracias.

Por lo que parece, literalmente está tratando de restar de , incorrectamente también (no distribuyó el menos correctamente). Está diciendo usar las ecuaciones 1 a 2 para resolver este problema.$(2)$$(1)$

Tienes que configurar un lagrangiano con el problema de maximización:

$$\max_{x_1, x_2} \ (x_1 + 1)x_2 \\ \text{s.t.} \ 36 - (x_1 - 4)^2 - (x_2 - 6)^2 = c$$

Entonces tenemos

$$\mathcal{L} = (x_1 + 1)x_2 - \lambda[36 - (x_1 - 4)^2 - (x_2 - 6)^2 - c]$$

y deberías poder moverte desde allí.