CES: Función de producción: Elasticidad de sustitución

Tengo que demostrar que para la función de producción CES: $\sigma = 1/(1 + \rho)$

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

Descubrí que necesito resolver la siguiente ecuación:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{re (k / / l)}{k / / l}}{\frac{re R T S}{R T S}} = \frac{re (k / / l)}{re R T S} \frac{R T S}{k / / l} = \frac{re (k / / l)}{re ((k / / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / / l)^{1 - ρ}}{k / / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

Pero simplemente no sé cómo reescribir esta expresión a $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
fuente

Verifique el ejemplo para la producción de Cobb Douglas e intente resolverlo para CES. en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— despistado

La función de producción es: El MPL y MPK son respectivamente:

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ ¿Cuál es la razón por la que l puede ser sustituido por k?

Donde es una función de valor real diferenciable de una sola variable, definimos la elasticidad de f (x) con respecto a x (en el punto x) como $f$

σ (X) = \frac{X F^{'} (X)}{F (X)} \equiv \frac{\frac{re F (X)}{F (X)}}{\frac{re X}{X}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

Haga un cambio de variables tales que ( ) y ( $u = ln(x)$ $\rightarrow x = e^u$ $v=ln(f(x))$ $\rightarrow f(x) = e^v$ )
Tenga en cuenta que y $v' = f'(x) / f(x)$ para que $u'=\frac{1}{x}$ $\frac{v^{'}}{{tu}^{'}} = \frac{\frac{F^{'} (X)}{F (X)}}{\frac{1}{X}} = σ (X)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
$\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ $\frac{re v}{re tu} = \frac{re v}{re X} \cdot \frac{re X}{re tu} = \frac{F^{'} (X)}{F (X)} \cdot X$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ $\sigma(x)$

Ahora abordemos su problema de elasticidad.

l norte (\frac{q_{k}}{q_{l}}) = l o sol (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = l norte (\frac{l}{k})^{ρ - 1} = (ρ - 1) l norte (l / / k) = (1 - ρ) l norte (k / / l)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow l norte (k / / l) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot l norte (\frac{q_{k}}{q_{l}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

$\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
fuente

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$

ρ

$\rho$