Equivalencia modelo LEN

La posición inicial es un modelo de agente principal con información incompleta (riesgo moral) y las siguientes propiedades:

Utilidad de agente: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Utilidad principal: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Niveles de esfuerzo $e\in \Bbb R$
Resultados $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Contrato: , $w(x)=a+bx$

donde $r_A$ y $r_P$ es la medida de flecha-Pratt de la aversión al riesgo absoluta para el agente y el principal, respectivamente.

Estoy buscando el contrato óptimo para que el director ofrezca al agente cuando el esfuerzo del agente no es visible. La utilidad del director se puede escribir de la siguiente manera:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Quiero mostrar que se cumple la siguiente equivalencia, lo que significa que la maximización de la utilidad del principal se puede escribir como el RHS de la siguiente equivalencia:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

donde es la función de densidad de una variable aleatoria normal , con el valor esperado y la varianza . $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

Traté de usar la forma explícita de en el LHS, manipularlo un poco y luego iterar pero no pude obtener la equivalencia. $f(x|e)$

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
fuente

El punto principal es que la utilidad esperada del principal de un pago condicional en un cierto nivel de esfuerzo puede escribirse como $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

En otras palabras, dado que la riqueza se distribuye normalmente, la utilidad exponencial tiene una representación simple de `` varianza media ''. Para una derivación, ver aquí .

Supongo que el pago del principal es igual a . Entonces es sencillo calcular la media (condicional) y la varianza de : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

De ello se deduce que la utilidad esperada del principal se puede escribir como

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$