Condición de concavidad estricta diagonal de Rosen

Considere un juego con jugadores, la estrategia espacial , donde es conjunto acotado y del jugador función de pagos . La condición de Rosen ( JB Rosen. Existencia y unicidad de los puntos de equilibrio para juegos cóncavos de n personas. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) por la unicidad del Equilibrio de Nash en el juego de n jugadores establece que el equlibrium será único cuando $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

función de pago es cóncavo en su propia estrategia $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Existe el vector ( tal que la función es diagonalmente estrictamente cóncavo $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

denota el conjunto de jugadores. $N$

Para definir el concepto de concavidad diagonal estricta, primero introduzca 'pseudogradiente' de la función , definida con: $\sigma$ Entonces,se dice que lafunciónesdiagonalmente estrictamente dominanteenparafijosi para cadacumple lo siguiente:

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

$\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
fuente

$\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

$\sigma$

— muxamilian
fuente

¡Gracias por tu respuesta! Lo que escribes es esencialmente uno de los resultados en el artículo original de Rosen. Cuando digo intuición quiero decir ¿qué propiedad de la interacción estratégica en el juego es capturada por la estricta condición de concavidad? Por ejemplo, ¿esta condición dice algo acerca de cómo las acciones de otros jugadores afectan la recompensa del jugador i, o cómo la acción del jugador i afecta la recompensa de otros jugadores en el juego? Lo siento si no fui lo suficientemente claro en la pregunta.

— Nidjsi