Utilidad cuasilineal: ¿la optimización de Pareto implica la maximización total de la utilidad?

Leí que si tenemos una utilidad cuasilineal para todos los consumidores, cualquier asignación óptima de Pareto maximiza la suma de los niveles de utilidad de todos los consumidores. Es decir:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

¿Alguien puede proporcionar una prueba de esto? Cualquier ayuda sería muy apreciada!

$\textbf{Edit:}\,$ no sé si este es el camino correcto, pero por la propiedad estrictamente creciente de , las preferencias satisfacen la no saciedad local, lo que implica que satisfacen el primer teorema del bienestar. Ahora, si pudiera averiguar si todas las asignaciones óptimas de Pareto son equilibrios competitivos con la utilidad cuasilineal, ¡podría estar en algo! $\phi(\,)$

microeconomics pareto-efficiency proof

— DornerA
fuente

¿Está seguro de que debajo de es lo mismo que debajo de ? Parece que falta una restricción de presupuesto / recursos. Y con eso, deberías poder obtener lo que quieres sumando desigualdades en (3) sobre .

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— Herr K.

@HerrK. Ese es un excelente punto y un error bastante vergonzoso por mi parte, lo cambiaré

— DornerA

¿Hay alguna propiedad para la función de X? Por ejemplo, si está aumentando estrictamente pero es cóncava, entonces la asignación de PO donde un agente toma la dotación total debería producir menos utilidad total que dividir esa asignación de manera uniforme entre dos agentes.

— 123

@ 123 no hay otras suposiciones sobre que las mencionadas anteriormente, lamentablemente

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— DornerA

Respuestas:

Editar: Los casos de borde apestan; ver comentarios. Ver también MWG Capítulo 10 sección C, D.

Supongamos que resuelve $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Pero no es Pareto óptimo.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

Lo cual es una contradicción. Si tenemos una solución al problema de maximización de la utilidad, debe ser el óptimo de Pareto.

(Tenga en cuenta que esto viene de las propiedades continuas y crecientes de ) $\phi(\cdot)$

Supongamos que es una asignación óptima de Pareto factible, pero no resuelve $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Como tratamos a como numerario y aumenta estrictamente, sabemos que no está saciado localmente. La asignación de Pareto debería ser factible. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Si esto es cierto porque esta asignación alternativa simplemente le da a un individuo más de , para todo lo demás igual, entonces la asignación alternativa es inviable. Entonces tendríamos una contradicción. $x$

Si esto es cierto porque en la asignación alternativa, a otra persona se le asigna más solo a otra persona se le asigna menos, entonces la asignación original no sería óptima de Pareto. Supongamos que lo fuera. Si tomó la asignación original y cambió en el camino de la nueva asignación, entonces necesitaría una operación correspondiente en el bien numerario, , para mantener a quien está perdiendo al menos en el mismo nivel de utilidad. Pero las transacciones en el bien del numerario nunca pueden cambiar la utilidad agregada sumada . De la asignación original, si puede cambiar por $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ y mejorar a alguien sin lastimar a nadie, no estaba en un óptimo de Pareto, y si no puede cambiar por para mejorar a alguien, no puede aumentar la utilidad agregada sumada, lo que significa que la asignación original era solución al problema de maximización. $m$ $x$

Esta lógica se aplica sin importar cómo reorganice entre varias personas. $x$

$\square$

— Kitsune Cavalry
fuente

Veo que el OP aceptó esta respuesta, pero esto no prueba su propuesta real. OP afirma que cualquier asignación de PO resuelve el problema de maximización dado. Esta prueba muestra que una solución al problema de maximización es PO. Sin embargo, este resultado se deduce inmediatamente del hecho de que la función de utilidad deja en claro que las preferencias satisfacen la no saciedad local. Y sabemos que no existe necesariamente una biyección entre los puntos CE y PO. La proposición original es probablemente falsa, dependiendo de las restricciones impuestas a la función de X. (Usar un teléfono tan difícil de usar LaTex - lo siento)

— 123

No creo que la proposición sea cierta en entornos de economía de intercambio pura estándar. Aquí está el contraejemplo: economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— Amit el

@Amit, creo que tienes razón. Sin embargo, la declaración parece mantenerse con la condición adicional de que la asignación de PO es tal que para todos los consumidores : . O, alternativamente, si el problema permite valores negativos para . En este caso, su contraejemplo no sería PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— Giskard

@KitsuneCavalry Aquí yace el error: "De la asignación original, si puedes cambiar por y mejorar a alguien sin lastimar a nadie, no estabas en un óptimo de Pareto, y si no puedes cambiar por para hacer alguien mejor, no puede aumentar la utilidad agregada sumada ... "o no puede realizar el intercambio porque violaría una restricción de no negatividad. Boo, estafador! : D Devolver los 50 puntos: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard

@denesp Estoy de acuerdo en que el resultado se cumple si permitimos que sea cualquier número real, o solo un número real estrictamente positivo, para todo .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— Amit

No creo que sea cierto en una economía de intercambio pura estándar a la que se refiere la pregunta. Considere el siguiente contraejemplo: suponga

$I = \{1,2\}$ y y . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

y dejar que el conjunto de asignaciones factibles sea

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Observe que la asignación es eficiente de Pareto, pero no maximiza la suma de utilidades. La razón es que la asignación produce la suma más alta. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

— Amit
fuente

@DornerA ¿Qué piensas sobre esto?

— Giskard

Creo que se está refiriendo al siguiente resultado: cualquier asignación de PE maximiza , pero es difícil saberlo con precisión ya que no es específico sobre factibilidad. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Déjame ser más específico. Para cada , . Una asignación es . El conjunto de asignaciones factibles es . La utilidad de de es , donde está aumentando estrictamente. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

La definición de asignación de PE es estándar: es PE si tal que para todos y para algunos . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Ahora afirmo que si es PE, entonces es una solución para , o, haciendo la maximización con respecto a s explícito, st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

No voy a probar el reclamo aquí, pero la idea clave es simple y es la siguiente. Suponga que es PE pero no resuelve el problema de maximización. Entonces podemos encontrar otro factible tal que . Es cierto que en , en relación con , los agentes están peor, pero podemos usar el dinero, s, para que estén igualmente bien como debajo de , y aún así quedarnos con algo de dinero ya que aumentamos la suma de la utilidad proveniente de s. $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Otra forma de decir esto es que la suma de la utilidad de es . Ahora cualquier asignación no derrochadora tendrá el primer término idéntico. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Otra forma de pensar acerca de esto es que s determina el tamaño del pastel y el dinero, s, determina la redistribución. Por cuasi-linealidad, la disminución de en una unidad y el aumento de en una unidad deja las hojas sin cambios. Esto no es cierto para y . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Esto también implica que cualquier que resuelva el problema de maximización es PE. $a\in F$

— ene
fuente

¿Has leído las otras dos respuestas? Uno básicamente dice lo mismo. El otro proporciona un contraejemplo.

— Giskard

@denesp Sí, leí las respuestas y digo cosas diferentes. Las dos respuestas están hablando de la maximización de la suma de utilidades, estoy hablando de la maximización de la suma de los s. En el contraejemplo, la suposición crítica es que . Si para , entonces lo que digo se aplica. Qué suposición es 'estándar' es discutible. Me crió MWG.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— Jan

Un comentario más, Mas-Colell, Whinston, Green capítulo 10, especialmente las partes C y aún más especialmente la parte D, son un buen tratamiento de libro de texto sobre el tema que pregunta OP.

— Jan