Modelo de desastres raros de Barro (2009) en el AER: ¿Cómo derivar la ecuación (10)?

En Barro (2009) Desastres raros, precios de activos y costos de bienestar Barro desarrolla un modelo de árbol de Lucas con preferencias de Epstein-Zin.

Mi pregunta se refiere a la ecuación del artículo (10). En esta ecuación, Barro afirma que, bajo la solución óptima, la utilidad $U_t$ es proporcional al consumo $C_t$ rased a la potencia de $1-\gamma$ , donde $\gamma$ es el coeficiente de aversión al riesgo relativo, es decir

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

Si bien entiendo la lógica de este resultado, no entiendo cómo deriva la constante $\Phi$ , que se muestra en la nota 7 del documento mencionado:

Alberto Giovannini y Philippe Weil (1989, apéndice) muestran que, con la función de utilidad en la ecuación (9), la utilidad obtenida, $U_t$ , es proporcional a la riqueza elevada a la potencia $1-\gamma$ . La forma en la ecuación (10) sigue porque $C_t$ se elige óptimamente como una relación constante a la riqueza en el caso iid. La fórmula para $\Phi$ es, si $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$ ,

$$\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$$

Barro cita el artículo NBER de 1989 de Giovannini y Weil. En este artículo puedo derivar la constante. Sin embargo, se ve completamente diferente a la versión de Barro, porque termino con una expresión que incluye , donde R t es el rendimiento del capital. Creo que Barro ha reemplazado E [ R 1 - γ t ] con la solución de equilibrio de R t . Sin embargo, su expresión no incluye ningún registro o expresión exp.$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$

Estaría agradecido por una solución o cualquier pista sobre la solución.

Creo que Barro quiere decir en la nota al pie que Giovanni y Weil encuentran la misma ecuación, , pero usando la ruta óptima de C t . En el artículo de Barro, el enfoque es diferente dado que la dinámica de C t es exógena: C t = Y t por suposición.$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$C_t$$C_t$$C_t=Y_t$

Barro usa el caso límite cuando la duración de un período se acerca a 0. Quizás lo que pueda molestar al lector es que el modelo se define como discreto.

Reescribe el modelo

Primero, podemos reescribir el modelo con una longitud de período y luego usar δ → 0 . La dinámica del PIB escribe log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ con u t + δ ∼ N ( 0 , δ σ 2 ) y v t + δ$\delta$$\delta\to 0$

$$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$$v_{t+\delta}=0$ con probabilidad y log ( 1 - b ) con probabilidad p δ . La utilidad satisface U t = $1-p\delta$$\log(1-b)$$p\delta$ $$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$$

1) Encuentre en función de E t [ ( C t + $\Phi$$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

A partir de ahora, suponga que hay una tal que U t = Φ C 1 - γ (tenga en cuenta que Φ depende de δ a priori). Definir H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - $\Phi$$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$\Phi$$\delta$ , la utilidad satisface H( U t )= C 1 - θ t +$H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$ SustituimosUt: H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +

$$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$$ $U_t$ Por lo tanto, obtenemos paraCt≠0, $$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$ $C_t\neq 0$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$

$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

$$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ Taking the expectation and using the independence between $u_{t+1}$ and $v_{t+1}$, it follows $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ The expectation of $\exp(X)$ where $X$ follows $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ is $\exp(\sigma^2/2)$. $\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$ is a random variable equal to $1$ with probability $1-p\delta$ and $(1-b)^{1-\gamma}$ with probability $p\delta$. We substitute the expectation operator: $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ Finally, we use $C_t=Y_t$ to compute an equation for $\Phi$: $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$$

3) Take the approximation $\delta\to 0$

The last step consists in taking a first-order approximation (I abusively keep the equal symbol):

$$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ Pursuing the first-order apprixmation (all the $\delta^i$ with $i>1$ can be neglected), we have $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ Substitute $g$ using $g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$, $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ We take $\delta=1$ and invert function $H$ to find the solution in the footnote 7 of the paper. The right-hand side of this equation "simplifies" to the within braces in the formula.