Peligro moral con agente neutral al riesgo

Tenemos un modelo principal-agente con acciones ocultas en las que el principal es reacio al riesgo y el agente es neutral al riesgo; Suponga que también hay dos niveles de salida, y (con ) y dos acciones . Defina las probabilidades de bajo las acciones respectivamente. Además, la desutilidad del agente de la acción es . Los salarios asociados a son respectivamente. $x$ $x'$ $x'>x$ $a,a'$ $p(a),p(a')$ $x'$ $a,a'$ $a'$ $-1$ $x,x'$ $w,w'$

Mi problema es que no estoy seguro de cómo demostrar que el contrato óptimo requiere , es decir, que el agente, siendo neutral al riesgo, asume toda la variabilidad asociada con el proyecto. $x'-w' =x-w$

Formalizo el problema (supongo que el director quiere inducir $a'$ , de lo contrario mi pregunta es trivial)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

S t

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

En particular, cuando trato de resolver el problema maximizando el pago principal esperado sujeto a la racionalidad individual "estándar" (con $\lambda$ multiplicador ) y restricciones de compatibilidad de incentivos (con $\mu$ multiplicador) (supongo que el principal está interesado en más acción costosa $a'$ ) Termino con dos ecuaciones que no son consistentes con el resultado antes mencionado. En particular:

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

Es evidente que contiene iff que no es el caso en este problema (aquí tenemos que ). Otra posibilidad sería suponer que la restricción de compatibilidad de incentivos es floja (por lo tanto, ); sin embargo, no puedo entender por qué debería ser así, cuando el director quiere inducir la acción más costosa (ayuda aquí) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

He leído en línea que otro enfoque sería asumir que el director "vende" el proyecto al agente y el agente, después de haber elegido qué nivel de esfuerzo maximiza su utilidad esperada, devuelve una cantidad fija al director (llámelo ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

Entonces tendríamos algo como:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ si el agente elige realizar un gran esfuerzo y contrario. $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

Pero entonces, ¿cómo ir desde allí? ¿Cómo asegurar que el agente va a elegir la acción ? ¿Cómo se determinan las cantidades fijas? ¿Por qué son óptimos? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
fuente

Una pista: Dada su configuración, no es necesariamente la acción eficiente, y por lo tanto, el principal no necesariamente quiere inducirlo. ¿Quieres que la gente asuma que es así?

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

@Shane Esto se afirma en la pregunta: "suponga que el director quiere inducir "

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp Eso es cierto, pero aún es importante saber si es realmente eficiente, porque, dado el agente neutral al riesgo, vender el proyecto al agente será óptimo pase lo que pase , pero solo inducirá si es eficiente. Si no es eficiente pero el director quiere inducirlo independientemente, entonces toda la noción de contratos óptimos es borrosa: estaríamos encontrando el contrato óptimo de un conjunto de contratos que induce una elección subóptima.

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

El principal solo puede hacer un pago para inducir un ', de una cantidad basada en cualquier utilidad que el principal reciba de esta acción.

— DJ Sims

¿Pueden los "salarios" ser negativos o cero?

— Alecos Papadopoulos

Respuestas:

Esta respuesta muestra tres cosas:

No necesitamos el enfoque lagrangiano para resolver su problema de maximización.
No necesitamos suponer que tampoco. $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
La condición no se cumple necesariamente para el contrato óptimo. $x'-w'=x-w$

Fijar de hecho el pago . El problema se puede escribir dadas las restricciones Está claro que el principal tiene interés en establecer el valor más bajo posible para dado este conjunto de restricciones, ya que la función objetivo está disminuyendo en . Por lo tanto, establecerá $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

Como lo hizo @Alecos_Papadopoulos, tiene sentido suponer que el agente está protegido por una responsabilidad limitada, es decir, que sus pagos no son negativos. De lo contrario, el problema no tiene necesariamente una solución: el principal siempre podría beneficiarse de disminuir y aumentar para mantener satisfecha la restricción de racionalidad individual. Pero el contrato obviamente no es una solución satisfactoria. Por lo tanto, limito la atención al caso donde y . $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

La condición implica y, por lo tanto, $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

Al conectar esta ecuación a la función objetivo, el problema del principal se convierte en

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ Esta función objetivo está disminuyendo en . Por lo tanto, simplemente establece y . Como conclusión, la igualdad no tiene ninguna razón para ser satisfecha a menos que uno que , es decir que Esta última ecuación significa que el excedente social resultante de es igual al excedente resultante de

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : es un caso muy particular donde el costo del esfuerzo para el agente se compensa exactamente por el aumento en la producción esperada para el principal. En todos los demás casos, tenemos .

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

Creo que la razón por la cual el agente no asume todos los riesgos es porque sus acciones no son observables y, por lo tanto, no son contractibles. Esta propiedad sería cierta en una economía de riesgo compartido con asignaciones sin restricciones. Pero la asignación está aquí distorsionada por la necesidad de incentivar al agente para que haga un gran esfuerzo.

— Oliv
fuente

(+1) Ese es un buen enfoque, solo me gusta ser formal con problemas simples. Un último problema con la configuración del OP: dado que es arbitrario, nada garantiza que .

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— Alecos Papadopoulos

No creo que "el director siempre pueda beneficiarse disminuyendo aumentando para mantener satisfecha la restricción de racionalidad individual". es verdad. Quiero decir que hay casos en los que no puedes beneficiarte y mantener satisfecha la restricción de participación.

w

$w$

w^{'}

$w'$

— Giskard

@denesp Creo que es cierto. Tome negativo y lo suficientemente pequeño, y para satisfacer ambas restricciones. La función objetivo del principal es y esta función está disminuyendo estrictamente en , cuando es lo suficientemente pequeña. Por lo tanto, el principal siempre puede mejorar bajando y estableciendo : ninguna porción finita es óptima.

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— Oliv

@Alecos Papadopoulos gracias. ¿Por qué le gustaría garantizar que ?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— Oliv

@Oliv Si , entonces el ingreso neto para el principal es negativo si ocurre, mientras que es positivo si ocurre (con ). De hecho, incluso si , estamos en una situación en la que el principal quiere inducir la acción , aunque la utilidad condicional sea menor si se produce . Esto requeriría un tratamiento más completo, para determinar qué es realmente óptimo aquí. Ciertamente, podemos aceptar el problema tal como está, con todos sus supuestos tomados como datos ad hoc, pero prefiero los problemas que contrarrestan la intuición solo si, al final, pueden explicar por qué.

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— Alecos Papadopoulos

Una cosa que me molesta aquí es la siguiente: la restricción de compatibilidad de incentivos es

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... ya que por suposición . Se nos dice que debemos encontrar que en el punto óptimo, $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

Combinando y , si de hecho este es el óptimo bajo las restricciones dadas, también debemos tener $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

Pero esta es una restricción adicional necesaria sobre las magnitudes a priori, que debe cumplirse para que la solución óptima postulada sea admisible. Incluso si se supone tal restricción, en cualquier caso, reduce visiblemente la generalidad del problema (que pretende mostrar algo general, es decir, cómo la neutralidad del riesgo del agente afecta la solución).

Sin embargo, trabajemos esto un poco más formalmente. Asumiré que puede ser cero, pero no negativo. Este es un problema de maximización en forma normal con restricciones de desigualdad, variables de decisión no negativas y multiplicadores no negativos. El Lagrangeano completo del problema, por lo tanto, es (compactaré la notación de una manera obvia), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

Las condiciones esenciales de primer orden son

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

y análogamente para . Estos resultan en $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

Primero tenga en cuenta que no ambos salarios pueden ser cero, porque se violarían las restricciones. Dado esto, considere la posibilidad de que el sea vinculante (entonces ). Si es vinculante, no con ambos salarios cero, la restricción de violará necesariamente. Entonces concluimos que $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

y las condiciones de primer orden ahora se vuelven

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

Ahora tenga en cuenta que si (es decir, ), entonces debería mantenerse como una igualdad y con el último término a la derecha igual a cero. Pero esto requeriría una utilidad marginal negativa que es inadmisible. También sabemos que no ambos salarios pueden ser cero. Entonces concluimos que debemos tener $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

y las condiciones ahora se vuelven

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

Eq. implica que , bajo una especificación de función de utilidad habitual, que no proporciona utilidad marginal cero excepto en el infinito. Esto, a su vez, significa que la restricción de debería ser una igualdad. Dado que esto da $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

Esto debería sonar una campana, porque el lado derecho de es el mismo que el lado derecho de y . $(6)$ $(1)$ $(3)$

Es decir, si asumimos a priori que , entonces la solución a la que hemos llegado valida la afirmación $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

Bajo este supuesto adicional, también obtenemos

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

Combinando, obtenemos

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

Esto es admisible . Entonces, bajo , obtenemos la solución $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— Alecos Papadopoulos
fuente