Modelo Solow: Ruta de crecimiento equilibrado en estado estable

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De acuerdo, tengo problemas reales para distinguir entre el concepto de estado estacionario y la ruta de crecimiento equilibrado en este modelo:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Se me ha pedido que obtenga los valores de estado estacionario para el capital por trabajador efectivo:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

Además de la relación de estado estable de capital a producción (K / Y):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Encontré ambas cosas bien, pero también me han pedido que encuentre el "valor en estado estacionario del producto marginal del capital, dY / dK". Aquí esta lo que hice:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

Sustituyendo por K en el estado estacionario (calculado cuando se trabaja en estado estacionario para la relación K / Y anterior):

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

En primer lugar, necesito saber si este cálculo para el valor de estado estable de MPK es correcto.

En segundo lugar, se me ha pedido que bosqueje las rutas temporales de la relación capital-producto y el producto marginal del capital, para una economía que converge a su ruta de crecimiento equilibrado "desde abajo".

Tengo problemas para comprender exactamente cuál es el camino de crecimiento equilibrado, en oposición al estado estacionario, y cómo usar mis cálculos para determinar cómo deberían ser estos gráficos.

Perdón por la publicación gigantesca, ¡cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias por adelantado.

— James Baker
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Esto es cuando el intento de precisión crea confusión y malentendidos.

En el pasado, los modelos de crecimiento no incorporaban el progreso tecnológico y conducían a un equilibrio a largo plazo caracterizado por magnitudes constantes per cápita. Verbalmente, el término "estado estable" parecía apropiado para describir tal situación.

Luego aparecieron los modelos de crecimiento endógeno y Romer, que también empujaron a los modelos más antiguos a comenzar a incluir como característica de rutina factores de crecimiento exógenos (aparte de la población). Y "de repente", los términos per cápita no eran constantes en el equilibrio a largo plazo, sino que crecían a un ritmo constante . Inicialmente, la literatura describía tal situación como "estado estable en las tasas de crecimiento".

Entonces parece que la profesión pensó algo así como "no es correcto usar la palabra" estable "aquí porque las magnitudes per cápita están creciendo. Lo que sucede es que todas las magnitudes crecen a una velocidad equilibrada (es decir, a la misma velocidad, por lo que sus proporciones permanecen constante) .Y como crecen, siguen un camino ... "Eureka !: nació el término" camino de crecimiento equilibrado ".

... Para frustración de los estudiantes (al menos), que ahora tienen que recordar que, por ejemplo, el "camino de la silla de montar" es de hecho un camino en el diagrama de Fase, ¡pero el "camino de crecimiento equilibrado" es solo un punto! (porque para dibujar realmente un diagrama de Fase y obtener un buen equilibrio a largo plazo, expresamos las magnitudes por trabajador efectivo, y estas magnitudes tienen un estado estacionario tradicional. Pero seguimos llamándolo "camino de crecimiento equilibrado", porque las magnitudes per cápita, que es lo que nos interesa, en nuestro enfoque individualista, continúan creciendo).

Entonces, "camino de crecimiento equilibrado" = "estado estable de magnitudes por unidad de trabajo eficiente", y supongo que puede averiguar el resto para su diagrama de fase.

— Alecos Papadopoulos
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Después de la conversación con @denesp usuario en los comentarios de mi respuesta anterior, tengo que aclarar lo siguiente: el dispositivo gráfico habitual que utilizamos en relación con el modelo de crecimiento de Solow básico (ver, por ejemplo, aquí , figura 2) no es un diagrama de fases, dado que razonablemente llamamos "diagramas de fase" a aquellos que contienen loci de cambio cero, identifican los puntos de cruce de ellos como puntos fijos de un sistema dinámico y examinan sus propiedades de estabilidad. Y esto no es lo que hacemos para el modelo Solow. Así que fue un uso descuidado de la terminología de mi parte.

$(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

$(y,k)$

$y$ $k$ $y$ $k$

— Alecos Papadopoulos
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