La equivalencia y la invariancia a veces se usan indistintamente. Como señaló @ Xi'an , puede encontrar usos en la literatura estadística, por ejemplo, en las nociones del estimador invariante y especialmente el estimador de Pitman .
Sin embargo, me gustaría mencionar que sería mejor si ambos términos se mantienen separados , ya que el prefijo " in " en invariante es privativo (lo que significa "sin variación" en absoluto), mientras que " equi- " en equivalente se refiere a "variable en una proporción similar o equivalente ". En otras palabras, uno no se mueve, el otro sí .
Comencemos por las características simples de la imagen, y supongamos que la imagen yo tiene un máximo único metro en la ubicación espacial de píxeles ( xmetro, ymetro) , que es aquí la principal característica de clasificación. En otras palabras: una imagen y todas sus traducciones son "iguales" . Una propiedad interesante de los clasificadores es su capacidad para clasificar de la misma manera algunas versiones distorsionadas yo′ de yo , por ejemplo, las traducciones de todos los vectores ( u , v ) .
El valor máximo metro′ de yo′ es invariante : metro′= m : el valor es el mismo. Si bien su ubicación será en ( x′metro, y′metro) = ( xmetro- u , ymetro- v ) , y es equivalente , lo que significa que varía "igualmente" con la distorsión .
Las formulaciones precisas dadas en matemática para la equivalencia dependen de los objetos y las transformaciones que uno considera, por lo que prefiero aquí la noción que se usa con más frecuencia en la práctica (y puedo culparlo desde un punto de vista teórico).
Aquí, las traducciones (o alguna acción más genérica) pueden equiparse con la estructura de un grupo sol , siendo sol un operador de traducción específico. Una función o característica F es invariante bajo sol si para todas las imágenes de una clase, y para cualquier sol ,
F( g( Yo) ) = f( Yo).
Se vuelve equivalente si existe otra estructura o acción matemática (a menudo un grupo) sol′ que refleje las transformaciones en sol de manera significativa . En otras palabras, de modo que para cada sol , tenga uno un sol′∈ G′ único , de modo que
F( g( Yo) ) = g′( f( Yo) ).
En el ejemplo anterior sobre el grupo de traducciones, sol y sol′ son iguales (y, por lo tanto, sol′= G ): una traducción entera de la imagen se refleja como la misma traducción exacta de la ubicación máxima.
Otra definición común es:
F( g( Yo) ) = g( f( Yo) ).
Sin embargo he utilizado potencialmente diferente sol y sol′ , porque a veces F( Yo) y sol( Yo) no están en el mismo dominio. Esto sucede, por ejemplo, en las estadísticas multivariadas (véase, por ejemplo, las propiedades de equivalencia e invariancia del cuantil multivariado y las funciones relacionadas, y el papel de la estandarización ). Pero aquí, la unicidad del mapeo entre sol y sol′ permite volver a la transformación original sol .
A menudo, las personas usan el término invariancia porque el concepto de equivalencia es desconocido, o todos los demás usan invariancia, y la equivalencia parecería más pedante.
Para el registro, otras nociones relacionadas (especialmente en matemáticas y física) se denominan covarianza , contravarianza , invariancia diferencial .
Además, la invariancia de traducción, como mínimo aproximada, o en sobre, ha sido una búsqueda de varias herramientas de procesamiento de señales e imágenes. En particular, las transformaciones de múltiples velocidades (bancos de filtros) y de múltiples escalas (wavelets o pirámides) se han diseñado en los últimos 25 años, por ejemplo, bajo el capó del árbol de doble invariante, giro de ciclo, estacionario, complejo y dual. transformadas wavelet (para una revisión de wavelets 2D, un panorama sobre representaciones geométricas multiescala ). Las wavelets pueden absorber algunas variaciones de escala discretas. Todas las variaciones (aproximadas) de tesis a menudo vienen con el precio de la redundancia en el número de coeficientes transformados. Pero es más probable que produzcan características invariantes de desplazamiento o equivalentes de desplazamiento.