¿Existe una prueba eficiente para determinar si un NFA acepta un subconjunto de otro NFA?

Entonces, sé que probar si un lenguaje regular es un subconjunto del lenguaje regular es decidible, ya que podemos convertirlos a ambos en DFA, calcular y luego probar si este idioma está vacío. $R$ $S$ $R \cap \bar{S}$

Sin embargo, dado que esto requiere la conversión a DFA, es posible que los DFA, y por lo tanto el algoritmo de prueba, sean exponenciales en términos del número de estados en los NFA de entrada.

¿Hay alguna forma conocida de hacer esto en tiempo polinómico? ¿Se ha demostrado en general que este problema Co-NP está completo?

$R$ $S$ $R \not \subseteq S$

EDITAR: esto es incorrecto, ya que no hay garantía de que tal palabra sea polinómica en el número de estados.

— jmite
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¿Es esta una pregunta teórica o sobre la práctica? a veces para una "distribución" particular de entradas encontradas en la práctica, un problema completo de Pspace puede ser "ejecutable" en tiempo P.

— vzn

Idealmente es teórico, pero las pruebas en las que estoy trabajando dependen en gran medida de las pruebas de computadora, lo que significa que un algoritmo rápido definitivamente sería útil.

— jmite

así que sí, hay un algoritmo bastante sencillo que funciona simplemente siguiendo las transiciones en paralelo para cada una de las dos máquinas y haciendo un seguimiento de los conjuntos de estados resultantes, algo así como el algoritmo de determinación estándar. No sé si está en algún lugar de la literatura, es tan simple que supongo que lo es. ¿Ya estás usando algún algoritmo? Sería útil si lo citaras. También sería útil contar con más detalles sobre el tipo de entradas. ¿También parece que quieres determinar si la intersección de dos NFA está vacía? ¿Desea el idioma de la intersección o solo S / N si no está vacío?

— vzn

Sólo estoy buscando si está vacío, la idea de ser estoy buscando si a prueba si . El algoritmo de transición paralela funciona, creo que la parte difícil es tomar el complemento de un NFA, primero debes convertir a DFA. El algoritmo que he estado usando en este momento es solo fuerza bruta, ya que solo estoy tratando con lenguajes finitos.

R - S = {}

$R-S=\{\}$

R \subseteq S

$R \subseteq S$

— jmite

creemos que puede haber una forma de atravesar los dos NFA sin convertirlos en un DFA primero, incluso encontrando el complemento de uno también. pero no lo he visto en una ref.

— vzn

Respuestas:

El problema de decidir la contención del lenguaje en los NFA es completo para . Para probar esto, es fácil reducir el problema de universalidad para los NFA (probar si ) Entonces, de alguna manera, tienes que determinar, pero puedes hacerlo sobre la marcha. $PSPACE$ $L(A)=\Sigma^*$

Su observación sobre co-NP es incorrecta (pero agradable). Tal testigo se puede verificar en tiempo polinómico en el testigo , pero el testigo más corto en sí mismo puede ser exponencial en la longitud de la entrada. Como , entonces decidir no contención también es completo para . $PSPACE=co-PSPACE$ $PSPACE$

Decir las cosas con más cuidado, decidir si es en el tamaño de (ya que sólo debe complementarse), y en el tamaño de . $L(A)\subseteq L(B)$ $PSPACE$ $B$ $B$ $NLOGSPACE$ $A$

— Shaull
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Estás absolutamente en lo correcto. He estado tratando con una clase específica de NFA donde lo que dije es válido, pero definitivamente no podría ser con NFA infinitos generales. ¡Gracias!

— jmite

No tendrías una referencia a un documento o libro de texto que demuestre que PSPACE está completo, ¿verdad?

— jmite

No es una prueba muy detallada, pero creo que lo hará: la sabiduría.weizmann.ac.il

— Shaull

Deberías echar un vistazo al artículo Antichain Algorithms for Finite Automata de Jean-François Raskin .

En nuestros experimentos, la prueba de inclusión basada en antichain realizó uno o dos órdenes de magnitud mejor que los enfoques "tradicionalmente".

Si no recuerdo mal , este algoritmo se implementa en la biblioteca libAMoRE ++ .

— Dan
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Una de las mejores bibliotecas FSM gratuitas, avanzadas y altamente optimizadas, disponibles en línea es la biblioteca AT&T FSM . Implementa "fsmdifference" exactamente como usted describe, requiriendo un FSM libre de epsilon determinado para hacer la diferencia. Una idea es minimizar uno o ambos FSM antes de hacer la diferencia, lo que puede ayudar en algunos casos. (es decir, determinar no es lo mismo que minimizar). Este paquete también tiene una minimización "aproximada" o "codiciosa" que está diseñada para ser posiblemente más rápida que una minimización completa.

Sin embargo, al estudiar problemas similares, creo que hay una generalización o construcción de FSM que no aparecen en la literatura que pueden ayudar con este problema evitando el paso de determinación, es decir, básicamente invirtiendo un NFA sin crear un FSM determinado adicional. La idea es atravesar los bordes de NFA "en paralelo" y realizar un seguimiento del conjunto de nodos que forman parte del "superestado" actual (conjunto de estados) al igual que con el algoritmo de determinación estándar. Entonces, el complemento NFA acepta si y solo si el conjunto de nodos superestados actuales son "no aceptables" (en contraste con la construcción determinante que acepta iff "cualquier aceptación").

Sin embargo, no he visto esto escrito antes y no lo veo a través de una búsqueda rápida en línea. Hay muchas referencias que sugieren o implican que la única forma de trabajar con el complemento de un NFA es determinarlo.

Aquí hay dos referencias "cercanas" que pueden ser útiles para algunas ideas. Me interesaría saber de cualquiera / otros que estén "más cerca". Usted menciona que está trabajando en la verificación del programa, que puede ser un campo que tiene una investigación más directa sobre el problema.

[1] Construcción de la intersección de autómatas finitos no deterministas utilizando la notación Z Nazir Ahmad Zafar, Nabeel Sabir y Amir Ali

[2] Construcciones de complementación para autómatas no deterministas en palabras infinitas Orna Kupferman y Moshe Vardi

— vzn
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