Confluencia de la expansión beta

Deje $\to_\beta$ ser $\beta$ reducción en el cálculo $\lambda$ . Definir $\beta$ expansión $\leftarrow_\beta$ por $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$ .

¿Es $\leftarrow_\beta$ confluente? En otras palabras, ¿tenemos eso para cualquier $l,d,r$ , si $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ , entonces existe $u$ tal que $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ?

Palabras clave: Confluencia ascendente, propiedad CR invertida

Comencé mirando la propiedad más débil: confluencia local (es decir, si $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ , entonces $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ). Incluso si esto fuera cierto, no implicaría confluencia ya que la expansión $\beta$ no termina, pero pensé que me ayudaría a comprender los obstáculos.

(Arriba) En el caso donde ambos reducciones son en la parte superior de nivel, la hipótesis se convierte en $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ . Hasta $\alpha$ ruming, podemos suponer que $x_1\not =x_2$, y que ni $x_1$ ni $x_2$ son libres en esos términos.

(Throw) Si $x_1$ no es libre en $b_1$ , tenemos $b_1=b_2[a_2/x_2]$ y por lo tanto tienen $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

Una prueba ingenua por inducción (en $b_1$ y $b_2$ ) para el caso (Arriba) sería la siguiente:

• Si $b_1$ es una variable $y_1$ ,

  • Si $y_1=x_1$ , la hipótesis se convierte en $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ , y de hecho tenemos $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

  • Si $y_1\not=x_1$ , entonces simplemente podemos usar (Lanzar).

• Se aplican las mismas pruebas si $b_2$ es una variable.

• Para $b_1=\lambda y.c_1$ y $b_2=\lambda y.c_2$ , la hipótesis se convierte en $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ y la hipótesis de inducción da$d$ tal que$(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ que implica que$\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ . Desafortunadamente, no tenemos$\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ . (Esto me hace pensar en lareducción$\sigma$ ).

• Un problema similar surge para las aplicaciones: los $\lambda$ s no están donde deberían estar.

Dos contraejemplos son:

• $(\lambda x. b x (b c)) c$ y$(\lambda x. x x) (b c)$ (Plotkin).
• $(\lambda x. a (b x)) (c d)$ y$a ((\lambda y. b (c y)) d)$ (Van Oostrom).

El contraejemplo detallado a continuación se da en El cálculo Lambda: su sintaxis y semántica por HP Barenredgt, edición revisada (1984), ejercicio 3.5.11 (vii). Se atribuye a Plotkin (sin referencia precisa). Doy una prueba incompleta que está adaptada de una prueba de Vincent van Oostrom de un contraejemplo diferente, en Take Five: an Easy Expansion Exercise (1996) [PDF] .

La base de la prueba es el teorema de estandarización, que nos permite considerar solo las expansiones beta de una determinada forma. Intuitivamente hablando, una reducción estándar es una reducción que hace todas sus contracciones de izquierda a derecha. Más precisamente, una reducción no es estándar si hay un paso $M_i$ cuya redex es un residuo de una redex a la izquierda de la redex de un paso anterior $M_j$ ; “Izquierda” y “derecha” para una redex se definen por la posición del $\lambda$ que se elimina cuando se contrae la redex. El teorema de estandarización establece que si $M \rightarrow_\beta^* N$ hay una reducción estándar de $M$ a$N$ .

Sea $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ y $R = (\lambda x. x x) (b c)$ . Ambos términos beta-reducen a $b c (b c)$ en un solo paso.

Supongamos que hay un ancestro común $A$ de tal manera que $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ . Gracias al teorema de estandarización, podemos suponer que ambas reducciones son estándar. Sin pérdida de generalidad, suponga que $A$ es el primer paso donde estas reducciones difieren. De estas dos reducciones, supongamos que $\sigma$ sea ​​el lugar donde la redex del primer paso está a la izquierda del otro, y escriba $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ donde $C_1$ is the context of this contraction and $(\lambda z. M) N$ is the redex. Let $\tau$ be the other reduction.

Como $\tau$ es estándar y su primer paso es a la derecha del agujero en $C_1$ , no puede contraerse en $C_1$ ni a la izquierda del mismo. Por lo tanto, el término final de $\tau$ es de la forma $C_2[(\lambda z. M') N']$ donde las partes de $C_1$ y $C_2$ a la izquierda de sus agujeros son idénticas, $M \rightarrow_\beta^* M'$ y $N \rightarrow_\beta^* N'$. Dado que $\sigma$ comienza reduciendo en $C_1$ y nunca reduce más a la izquierda, su término final debe ser de la forma $C_3[S]$ donde la parte de $C_3$ a la izquierda de su agujero es idéntica a la parte izquierda de $C_1$ y $C_2$ , y $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$ .

Observe that each of $L$ and $R$ contains a single lambda which is to the left of the application operator at the top level. Since $\tau$ preserves the lambda of $\lambda z. M$, this lambda is the one in whichever of $L$ or $R$ is the final term of $\tau$, and in that term the argument of the application is obtained by reducing $N$. The redex is at the toplevel, meaning that $C_1 = C_2 = C_3 = []$.

• If $\tau$ ends in $R$, then $M \rightarrow_\beta^* z z$, $N \rightarrow_\beta^* b c$ and $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$. If $N$ has a descendant in $L$ then this descendant must also reduce to $b c$ which is the normal form of $N$. In particular, no descendant of $N$ can be a lambda, so $\sigma$ cannot contract a subterm of the form $\check{N} P$ where $\check{N}$ is a descendant of $N$. Since the only subterm of $L$ that reduces to $b c$ is $b c$, the sole possible descendant of $N$ in $L$ is the sole occurrence of $b c$ itself.

• If $\tau$ ends in $L$, then $M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$, $N \rightarrow_\beta^* c$, and $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$. If $N$ has a descendant in $R$ then this descendant must also reduce to $c$ by confluence.

At this point, the conclusion should follow easily according to van Oostrom, but I'm missing something: I don't see how tracing the descendants of $N$ gives any information about $M$. Apologies for the incomplete post, I'll think about it overnight.

Note that $\beta$-reduction can make any term disappear. Assuming that variable $x$ does not appear free in a term $v$, you have $(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$ and $(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$ for any terms $t_1$ and $t_2$. As a consequence, the fact that reverse $\beta$-reduction is confluent is somewhat equivalent to: for all terms $t_1$ and $t_2$, there is a term $u$ such that $u \to_\beta^\ast t_1$ and $u \to_\beta^\ast t_2$. This seems very false to me!