Calcular matriz inversa cuando un elemento cambia

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Dado un matriz . Deje que la matriz inversa de sea (es decir, ). Suponga que un elemento en cambia (digamos a ). El objetivo es encontrar después de este cambio. ¿Existe un método para encontrar este objetivo que sea más eficiente que volver a calcular la matriz inversa desde cero? $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

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— AJed
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Grandes respuestas: Encontré el siguiente artículo que aborda este problema exacto: Sankowski, Piotr. "Cierre transitivo dinámico a través de matriz dinámica inversa". Fundamentos de Informática, 2004. Actas. 45º Simposio anual de IEEE sobre. IEEE, 2004.

— AJed

Si el documento responde o aborda su problema de alguna manera, ¡está bien agregar una respuesta! :) Después de todo, los comentarios pueden eliminarse en cualquier momento.

— Juho

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La fórmula de Sherman-Morrison podría ayudar:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

Sea y , donde es el vector de columna base estándar. Puede verificar que si la matriz actualizada es entonces $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Yuval Filmus
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$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— adam W
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Buena respuesta, pero ¿qué tan diferente es esto de la anterior de Yuval?

— AJed

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A^{- 1}

$A^{-1}$