Mostrar que la eliminación mínima de vértices en un gráfico bipartito es NP-completo

Considere el siguiente problema cuya instancia de entrada es un gráfico simple y un entero natural . $G$ $k$

¿Existe un conjunto tal que sea bipartito y ? $S \subseteq V(G)$ $G - S$ $|S| \leq k$

Me gustaría mostrar que este problema es -completo reduciendo 3-SAT, CLIQUE, -DOMINATING SET o -VERTEX COVER a él. $\rm{NP}$ $k$ $k$ $k$

Creo que puedo reducir el problema de 3 COLORES, por lo que solo necesitaría ver cómo reducir uno de los problemas mencionados. Pero como eso sería bastante complicado, me pregunto si alguien ve una reducción elegante a los problemas antes mencionados.

Además, ¿hay un nombre para este problema de decisión?

complexity-theory np-complete reductions

— Jernej
fuente

Transversal de ciclo impar .

— Pål GD

Esto parece similar al conjunto de vértices de retroalimentación . Es decir, desea encontrar un subconjunto mínimo de vértices para eliminar de modo que el gráfico resultante sea acíclico. Un gráfico acíclico es, por definición, un árbol (o bosque) que es bipartito.

— Nicholas Mancuso

@NicholasMancuso No es tan similar. Es realmente como digo más arriba, el problema transversal del ciclo impar. O como señala Vor, Yannakakis lo llamó eliminación del nodo bipartito (o vértice) en los años 70 y 80.

— Pål GD

@ PålGD, estoy de acuerdo. Sentí que la reducción más fácil sería de FVS. Sin embargo, eso se hace innecesario por su definición como Odd Cycle Transversal.

— Nicholas Mancuso

@Jernej: dices "... me gustaría mostrar que este problema está en NP reduciéndolo a 3-SAT, la CLIQUE k, ...". ¿Quiere decir "Me gustaría mostrar que este problema es NP-hard usando una reducción de 3-SAT, k-CLIQUE, ..."? (el problema está claramente en NP porque la prueba si un gráfico es bipartito se puede hacer en tiempo lineal)

— Vor

Su problema es un caso especial de una clase más amplia de problemas llamados problemas de eliminación de nodos :

JM Lewis y M. Yannakakis, "El problema de eliminación de nodos para propiedades hereditarias es NP-completo"

... Este artículo trata sobre la clase de problemas de gráficos definidos de la siguiente manera:
para una propiedad de gráfico fija , encuentre el número mínimo de nodos (o vértices) que deben eliminarse de un gráfico dado para que el resultado satisfaga . Llamamos a esto el problema de eliminación de nodos para . Nuestros resultados muestran que si es una propiedad no trivial que es hereditaria en un subgrafo inducido, entonces el problema de eliminación de nodos para es NP-duro. Además, si agregamos la condición de que la prueba para $\Pi$ $G$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ se puede realizar en tiempo polinómico, entonces nuestros resultados implican que el problema de eliminación de nodos para es NP completo. ... $\Pi$

Su problema es el problema de eliminación de nodos para bipartidismo , pero (como lo señaló Pal), hoy se conoce como el problema de desplazamiento del ciclo impar (OCT).

EDITAR

En lo que respecta a una reducción directa, pensé en esta de 3SAT.

Dada una instancia de 3SAT con variables y cláusulas, construya el siguiente gráfico: agregue dos nodos para cada variable y un borde entre ellos. Para simular una asignación de verdad, agregue nodos para cada variable y conéctelos a y ; de esta manera, para hacer que un gráfico bipartito elimine como máximo nodos, se debe eliminar al menos uno entre y . Finalmente para cada clausula $n$ $m$ $x_i, \overline{x_i}$ $n+1$ $x_i$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $n$ $x_i$ $\overline{x_i}$ agrega 4 nodos y crea un ciclo impar que conecta las variables en . $C_j$ $C_j$

El gráfico resultante se puede hacer bipartito eliminando en la mayoría de los nodos si y solo si la fórmula 3SAT original es satisfactoria. $G$ $n$

ingrese la descripción de la imagen aquí

— Vor
fuente

Esta no es realmente la respuesta que pide la pregunta. OP quiere reducir explícitamente usando el problema dado. Además, el problema se conoce hoy como Odd Cycle Transversal.

— Pål GD

@ PålGD: tienes razón.

— Vor

Sí, pero no puedo ver inmediatamente una reducción de la lista de problemas de OP, aunque ... Solo sé del que mencionas, por Yannakakis.

— Pål GD

@ PålGD: pensaré en una reducción diferente, pero para ser honesto, no estoy seguro de qué es exactamente lo que quiere el OP (vea mi comentario más arriba).

— Vor

@Vor Lo que quiero es ver una reducción simple a uno de uno de los problemas mencionados. Conozco este artículo, pero estoy buscando la reducción más directa.

— Jernej