¿Es regular si es regular?

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Si es regular, ¿se deduce que es regular? $A^2$ $A$

Mi intento de una prueba:

Sí, por contradicción, suponga que no es regular. A continuación, . $A$ $A^2 = A \cdot A$

Dado que la concatenación de dos idiomas no regulares no es regular, no puede ser regular. Esto contradice nuestra suposición. Entonces es regular. Entonces, si es regular, entonces es regular. $A^2$ $A$ $A^2$ $A$

¿Es correcta la prueba?

¿Podemos generalizar esto a , , etc.? ¿Y también si es regular, entonces no necesita ser regular? $A^3$ $A^4$ $A^*$ $A$

Ejemplo: no es regular pero es regular. $A=\lbrace 1^{2^i} \mid i \geq 0\rbrace$ $A^*$

formal-languages regular-languages closure-properties

— akshay
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2

La primera prueba hace un gran salto. ¿Cuál es su prueba de que no es regular implica que no es regular? Probar eso adecuadamente puede llevarlo a la intuición para ayudar a responder el resto de la pregunta, si es que es verdad.

A

$A$

A^{2}

$A^2$

— Dave Clarke

@DaveClarke Editó la prueba.

— akshay

3

¿Cómo te las arreglas para deletrear "¿Estoy correcto?" esa manera es muy intrigante. Como consejo general: cuando cientos de personas leen lo que escribiste, la decencia general exige que prestes atención a cómo escribes ... ;-)

— Andrej Bauer

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@AndrejBauer El OP podría ser alguien que no sea hablante nativo de inglés y que aún no haya tenido la oportunidad de obtener instrucciones sobre inglés formal. Esta no es razón para desanimar a nadie, aunque podría ser útil corregirlos.

— Yuval Filmus

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Considere el teorema de cuatro cuadrados de Lagrange . Establece que si luego . Si es regular, tome o tome . De cualquier manera, esto prueba la existencia de irregular de tal manera que es regular. $B = \{1^{n^2}| n \geq 0\}$ $B^4 = \{1^n | n \geq 0\}$ $B^2$ $A = B$ $A = B^2$ $A$ $A^2$

— Karolis Juodelė
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No entiendo esta prueba; podrías elaborar un poco?

— G. Bach

2

Explicando esta (hermosa) prueba: tenemos que , y que . Observe que . Ahora, si , entonces tomando tenemos un contraejemplo, y si entonces tomando tenemos un contraejemplo.

B \notin R E G

$B\notin REG$

B^{4} \in R E G

$B^4\in REG$

B^{4} = (B^{2})^{2}

$B^4=(B^2)^2$

B^{2} \in R E G

$B^2\in REG$

A = B

$A=B$

B^{2} \notin R E G

$B^2\notin REG$

A = B^{2}

$A=B^2$

— Shaull

1

Absolutamente hermoso.

— vonbrand

3

@YuvalFilmus, de hecho, pero no tenía una prueba y no quería dejar ninguna duda. Ahora parece que he encontrado uno. "Un número es una suma de dos cuadrados si y solo si todos los factores primos de la forma tienen un exponente par en la factorización prima de ". Sea la longitud de bombeo. Considere . Sea un primo de la forma y sea la longitud que elegimos bombear. Entonces, tiene un exponente impar en y por lo tanto no está en .

n

$n$

4 k + 3

$4k+3$

n

$n$

n

$n$

w = (n!)^{2}

$w = (n!)^2$

p

$p$

4 k + 3

$4k+3$

m

$m$

w + (p - 1) \frac{w}{m} \cdot m = p w

$w + (p-1)\frac{w}{m}\cdot m = pw$

p

$p$

B^{2}

$B^2$

— Karolis Juodelė

1

@ JonasKölker, de acuerdo.

— Karolis Juodelė

8

Aquí hay un ejemplo de un lenguaje no computable tal que . Tome cualquier no computable (representada como un conjunto de números, por ejemplo, los códigos de las máquinas de Turing que se detienen) y defina Así contiene todas las palabras que no sean los de longitud para algunos . Si fuera computable, entonces podría calcular : dado , determine si (es decir, ceros) está en o no. Desde que asumimos $A$ $A^2 = \Sigma^*$ $K$

A = {w \in Σ^{*} : | w | \neq 4^{k} for all k \in K} .

$A = \{ w \in \Sigma^* : |w| \neq 4^k \text{ for all } k \in K \}.$

A

$A$

4^{k}

$4^k$

k \in K

$k \in K$

A

$A$

K

$K$

k

$k$

0^{4^{k}}

$0^{4^k}$

4^{k}

$4^k$

A

$A$

K

$K$ no es computable, también debe ser no computable.

A

$A$

Reclamación: . Sea cualquier palabra de longitud . Si no es una potencia de , entonces y la palabra vacía está en , entonces . Si es una potencia de entonces no es una potencia de . Escriba , donde . Ambos entonces . $A^2 = \Sigma^*$ $w$ $n$ $n$ $4$ $w \in A$ $A$ $w \in A^2$ $n$ $4$ $n/2$ $4$ $w = xy$ $|x| = |y| = n/2$ $x,y \in A$ $w = xy \in A^2$

— Yuval Filmus
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1

A

$A$

K

$K$

K

$K$

2

Su prueba aún da un gran salto (argumentando que la concatenación de idiomas no regulares no es regular).

$A=\{1^p: p\text{ is a prime}\}$ $A^2=\{1^{2k}: k>1\}$

Esto no resuelve la pregunta por completo, pero proporciona una fuerte evidencia de que la respuesta es no (de lo contrario, la conjetura de Goldbach es falsa). Sin embargo, la respuesta puede ser muy difícil de probar, si este es el único ejemplo conocido.

— Shaull
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¿Qué podemos concluir sobre la pregunta?

— akshay

A^{2}

$A^2$

A

$A$

2

En presencia de pruebas "reales", no creo que usar una conjetura no probada sea justo. ¿Quizás la conexión es interesante para algunos?

— Raphael

De hecho, después de las siguientes respuestas, esto es redundante. Sin embargo, puede ver un buen desarrollo matemático aquí: una respuesta basada en una conjetura bien conocida, luego una respuesta relacionada (usando el teorema de Lagrange), que se basa en una idea similar (descomponer un número en una suma).

— Shaull

1

De hecho, si usa primos y semiprimes, puede usar el teorema de Chen .

— sdcvvc

2

El reclamo es incorrecto.

$D$ $x \in D$ $y\in D$ $|y| > 4|x|$ $|x|>4|y|$ ^$\dagger$

$A = \Sigma^* \setminus D$ $A$

$A^2 = \Sigma^*$ $\ \ \$

^$\dagger$_{$|y|>2|x|$ $|y|>2|x|+2$ $|y|>4|x|$}

— Sonó.
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1 \in A

$1 \in A$

1^{k} \notin A ⟹ 1^{k - 1} \in A

$1^k \notin A \implies 1^{k-1} \in A$

2

$X \subseteq {1}^\ast$ $A=\{1\} \cup \{1^{2x}:x \in \mathbb N\} \cup \{1^{2x+1}:1^x \in X\}$

$A$ $A^2=1^{\ast}$

— sdcvvc
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2

$U\subseteq \mathbb{N}$ $I = \{2u+1\mid u\in U\}\cup\{0,2,4,\dots\}$ $L = \{a^i\mid i\in I\}$ $L$ $L^2 = \{a^{2n}\mid n\in \mathbb{N}\} \cup \{a^n\mid n\geq \min\,I\}$

— David Richerby
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0

Otro ejemplo, de una pregunta que fue marcada como un duplicado de esto, es considerar el lenguaje no regular . Cualquier número par es la suma de y , que son ambos compuestos; cualquier número impar es la suma de y , que son ambos compuestos ( para algunos ). Por lo tanto, , que es regular porque es co-finito (es el complemento de ). $\{a^k\mid m\text{ is composite}\}$ $n\geq 8$ $n-4$ $4$ $n\geq 13$ $n-9$ $9$ $n-9=2m$ $m\geq 2$ $A^2 = \{a^8,a^{10}\}\cup\{a^k\mid k\geq 12\}$ $\{\epsilon,a,aa,\dots,a^6,a^7,a^9,a^{11}\}$

— David Richerby
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