Tengo experiencia en matemáticas pero no soy informático. Sería genial tener usos en el "mundo real" de monoides y semi-grupos. Normalmente se consideran construcciones teóricas inútiles y se ignoran en muchos cursos de álgebra abstracta (por falta de algo interesante que decir).
Hay demasiado interesante para decir. Sin embargo, es más un tema de matemática discreta y combinatoria que para álgebra abstracta y análisis, al menos para los temas menos triviales. También está la cuestión de cuánto tiene que saber sobre un determinado tema antes de poder decirle a otra persona que sería un tema matemático interesante relacionado con los monoides y los semigrupos. Por ejemplo, encuentro interesantes los siguientes temas (relacionados con semigrupos):
- semigrupos finitos y teoría de Krohn-Rhodes
- simetrías parciales, semigrupos inversos, grupoides y cuasicristales
- semirremolques y geometría tropical
- órdenes parciales y funciones de Möbius
- funciones submodulares y descomposiciones (como Dulmage-Mendelsohn)
¿Sé mucho sobre cada uno de estos temas? Probablemente no. También hay muchos más temas matemáticos relacionados con monoides y semigrupos, algunos de ellos son más internos a la teoría del semigrupo en sí (como las relaciones de Green), otros son más generales y no específicos de los semigrupos (semigrupos universales, teoremas de homomorfismo e isomorfismo, estructuras de cociente y congruencias), pero también importante desde un punto de vista matemático. Los temas que he citado anteriormente en su mayoría tienen aplicaciones del "mundo real", pero hay más temas relacionados que también tienen aplicaciones del "mundo real".
Lo anterior no es una respuesta a la pregunta real, sino que solo aborda el "... normalmente se consideran construcciones teóricas inútiles ... por falta de algo interesante que decir ..." comentario. Así que enumeré algunos puntos "interesantes", afirmó que en su mayoría tienen aplicaciones del "mundo real", y ahora Hi-Angel solicita un poco de información sobre esas aplicaciones. Pero debido a que "hay demasiado interesante para decir", no esperes demasiado de esa información: el teorema de Krohn-Rhodes es un teorema de descomposición para semigrupos finitos. Sus aplicaciones implican la interpretación del producto de la corona como una especie de composición (de transductores) en conexión con la teoría de autómatas y lenguajes regulares, y ocurre en la clasificación de lenguajes regulares usando pseudovariedadesMark V Lawson: dos clases magistrales y material de base contenían (404 ahora) buen material sobre Semigrupos inversos . La base de sus aplicaciones es su conexión con el semigrupo inverso simétrico , es decir, el conjunto de todas las biyecciones parciales en un conjunto. También se puede comenzar con caracterizaciones algebraicas básicas de semigrupos inversos, pero este enfoque corre el riesgo de descuidar las conexiones a órdenes parciales que son importantes para muchas aplicaciones. Algún día tendré que bloguear sobre una aplicación específica de semigrupos inversos como "jerarquía" utilizada para comprimir diseños de semiconductores . Las aplicaciones de semirremolques ya se han descrito en las otras respuestas (y la geometría tropical nos llevaría lejos de la informática). Debido a que los monoides y los semigrupos también están relacionados con órdenes parciales, temas tan agradables como Möbius funcionan como se describe en Combinatorics: The Rota Way también están relacionados. Y luego también se relacionan temas de Matrices y Matroids para el Análisis del sistema como la descomposición de Dulmage-Mendelsohn , que fueron una de mis motivaciones para estudiar la teoría de la red (y las estructuras jerárquicas ocultas).