Conjunto independiente en gráficos sin triángulos cúbicos

Sé que el conjunto independiente máximo en gráficos sin triángulos cúbicos es NP-completo.

¿Sigue siendo NP completo en caso de que necesitemos que el conjunto independiente sea de tamaño exactamente ? $|V|/2$

Básicamente, la instancia SÍ de un problema de conjunto independiente en un gráfico de gráficas libres de triángulos cúbicos debe tener exactamente nodos. NINGUNA instancia tiene un conjunto independiente de tamaño menor que . $|V|/2$ $|V|/2$

complexity-theory np-complete

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

cs.stackexchange.com/questions/1176/… puede ser relevante.

— Louis

¿Cuáles son las instancias NO?

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Él pregunta si el problema es $\alpha(G) = |G| / 2$ dondees el orden de la gráfica. Debería ser posible rellenar algunos vértices aislados en el gráfico para aumentar el número de independencia. Mohammad, ¿conoces la reducción? ¿No es posible agregar vértices aislados para obtener la reducción deseada?

| G |

$|G|$

n / 2 - k

$n/2 - k$

— Pål GD

No, no tengo una reducción.

— Mohammad Al-Turkistany

@ PålGD La reducción no funcionaría, ya que el problema habitual pregunta si lugar de . De hecho, ni siquiera está claro que el problema esté en NP.

α (G) \geq k

$\alpha(G) \geq k$

α (G) = k

$\alpha(G) = k$

— Yuval Filmus

Comencemos demostrando que el conjunto independiente máximo es de tamaño como máximo . Let ser un conjunto independiente. Para cada vértice , deje sea el número de sus vecinos en . Si , entonces sabemos que . Como el gráfico es cúbico,. Como , el número de vértices de manera que es al menos. Por lo tanto . $|V|/2$ $I$ $v$ $\alpha(v)$ $I$ $\alpha(v) \geq 1$ $v \notin I$ $\sum_v \alpha(v) = 3|I|$ $\alpha(v) \leq 3$ $\alpha(v) \geq 1$ $|I|$ $|I| \leq |V|/2$

¿Cuándo podemos tener igualdad? Debemos tener , por lo que para cada vértice no en , todos sus vecinos deben estar en . Lo contrario también es cierto - para cada vértice en el , todos sus vecinos no están en . En otras palabras, el gráfico debe ser bipartito. Esto puede verificarse en tiempo polinómico. $\alpha(v) \in \{0,3\}$ $I$ $I$ $I$ $I$

— Yuval Filmus
fuente

YuvalFilmus Muchas gracias. ¿Esto le da al algoritmo de tiempo polinómico mi problema?

— Mohammad Al-Turkistany

Creo que sí, ¿estás de acuerdo?

— Yuval Filmus