Exponenciales dobles vs exponenciales simples

Aquí hay cuatro principios que no puedo conciliar:

Los algoritmos de tiempo exponencial doble se ejecutan en $O(2^{2^{n^k}})$ tiempo con $k \in \mathbb{N}$ constante
Los algoritmos de tiempo exponencial se ejecutan en $O(2^{n^k})$ con $k \in \mathbb{N}$ constante
El primer límite crece estrictamente más rápido que el segundo; es decir, existen algoritmos que se ejecutan en tiempo exponencial doble pero no en tiempo exponencial
Aplicando $a^{b^c} = a^{bc}$ al doble límite exponencial que tenemos $O(2^{2^{n^k}}) = O(2^{2^{nk}}) = O(2^{2nk})$ , que se encuentra dentro del límite exponencial establecido anteriormente

Siento que me falta algo de sutileza relacionada con la definición de un algoritmo de tiempo exponencial que se ejecuta en $O(2^{\mathrm{poly}(n)})$ más bien que $O(2^{n})$ , pero no estoy seguro exactamente dónde radica la sutileza.

asymptotics discrete-mathematics notation

— badroit
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He editado las etiquetas y el mosaico ya que, en realidad, esta pregunta no tiene nada que ver con la teoría de la complejidad: se trata de la notación matemática y el comportamiento asintótico de las funciones matemáticas.

— David Richerby

Respuestas:

El problema se reduce a una terminología ambigua.

$(a^b)^c = a^{bc}$ , pero $a^{(b^c)} \neq a^{bc}$ . En otras palabras, los exponentes no son asociativos.

Convencionalmente, los exponenciales anidados sin paréntesis se agrupan de esta segunda manera, porque es más útil. Entonces $2^{2^n} = 2^{(2^n)} \neq 2^{2n}$ . Si quisiéramos hablar sobre $(2^2)^n$ , podríamos escribir $2^{2n}$ en cambio, reservamos la notación exponencial doble para el otro caso.

— Draconis
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Esa convención es la única sensata. Como describió, elegir la otra forma de agrupación sería inútil ya que ya podríamos expresar ese valor / función usando

a^{b \cdot c}

$a^{b\cdot c}$ en lugar de un elegante "doble exponencial".

— Bakuriu

@Bakuriu Oh, de hecho, aunque es importante tener en cuenta que es solo una convención. (También podría existir la convención de usar siempre paréntesis, que es lo que hace LaTeX: se niega a adivinar cómo agrupar a^b^c, y en su lugar arroja un error).

— Draconis

Toda notación es "solo una convención". Describiendo "

a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}

$a^{b^c}=a^{(b^c)}$ "como" solo una convención "sugiere que hay otras alternativas plausibles pero, en realidad, no las hay.

— David Richerby

@DavidRicherby Ciertamente, ¡toda notación es convencional! Pero eso no significa que no valga la pena mencionarlo. Es una elección deliberada por parte de los matemáticos usar esa notación: y es una buena opción, porque elimina la ambigüedad y es más útil que la alternativa. Pero sigue siendo una opción, y nada le impide definirlo de manera diferente (además de confundir a los lectores sin obtener una ganancia real).

— Draconis

@Bakuriu No iría tan lejos como para decir que es la única convención sensata, porque me parece muy sensato suponer que todas las operaciones se evalúan de izquierda a derecha, a menos que haya paréntesis. Eso es lo que hacemos con la suma y la resta y lo que los niños aprenden en la escuela primaria con "PEMDAS". El hecho de que la exponenciación no siga la convención me ha hecho tropezar en el pasado, y casi todos los que primero se enteran de ello.

— 6005

$a^{(b^c)}$ no es lo mismo que $(a^b)^c$ . Cuando la gente escribe $2^{2^k}$ , generalmente significan $2^{(2^k)}$ no $(2^2)^k$ .

— DW
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