¿Cuál es exactamente la diferencia semántica entre categoría y conjunto?

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En esta pregunta, pregunté cuál es la diferencia entre set y type . Estas respuestas han sido realmente esclarecedoras (por ejemplo, @AndrejBauer), por lo que, en mi sed de conocimiento, me someto a la tentación de preguntar lo mismo sobre las categorías:

Cada vez que leo sobre la teoría de categorías (que ciertamente es bastante informal), no puedo entender realmente en qué se diferencia de la teoría de conjuntos, concretamente .

Así, en el más concreto manera posible, lo que es exactamente lo que implica sobre $x$ para decir que está en la categoría , en comparación a decir que ? (por ejemplo, ¿cuál es la diferencia entre decir que es un grupo y decir que está en la Categoría ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Puede elegir cualquier categoría y conjunto que haga que la comparación sea más clara).

sets category-theory

— usuario56834
fuente

No estoy seguro de que esta pregunta esté bien formada. Primero se pregunta cuál es la diferencia entre decir que 'x está en una categoría C' frente a 'x está en un conjunto S'. Pero luego da el ejemplo de preguntar 'x está en la categoría Grp' vs 'x es un grupo'. ¿Qué? Ese no es un ejemplo de tu pregunta. Un ejemplo de su pregunta es preguntar cuál es la diferencia entre 'x está en la categoría Grp' y 'x está en el conjunto de todos los grupos'. Pero incluso entonces, no es realmente lo que está preguntando si pregunta cuáles son las diferencias entre categorías y conjuntos.

— Miles Rout

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En resumen, la teoría de conjuntos trata sobre la pertenencia, mientras que la teoría de categorías trata sobre transformaciones que preservan la estructura.

La teoría de conjuntos se trata solo de pertenencia (es decir, ser un elemento) y de lo que se puede expresar en términos de eso (por ejemplo, ser un subconjunto). No se refiere a ninguna otra propiedad de elementos o conjuntos.

La teoría de categorías es una forma de hablar sobre cómo las estructuras matemáticas de un tipo ¹ dado pueden transformarse entre sí ² mediante funciones que preservan algún aspecto de su estructura; proporciona un lenguaje uniforme para hablar de una gran variedad de tipos ¹ de estructura matemática (grupos, autómatas, espacios vectoriales, conjuntos, espacios topológicos ... ¡e incluso categorías!) y las asignaciones dentro de esos tipos ¹ . Aunque formaliza las propiedades de los mapeos entre estructuras (realmente: entre los conjuntos en los que se impone la estructura), solo trata las propiedades abstractas de los mapas y estructuras, llamándolos morfismos (o flechas ) y objetos; Los elementos de tales conjuntos estructurados no son la preocupación de la teoría de categorías, y tampoco lo son las estructuras de esos conjuntos. Usted pregunta "de qué se trata una teoría "; Es una teoría de mapeos de preservación de estructuras de objetos matemáticos de un tipo arbitrario ¹ .

Sin embargo, la teoría de las categorías ³abstractas , como se acaba de decir, ignora totalmente los conjuntos, operaciones, relaciones y axiomas que especifican la estructura de los objetos en cuestión, y solo proporciona un lenguaje en el que hablar sobre cómo los mapeos que preservan cierta estructura comportarse: sin saber qué estructura se conserva, sabemos que la combinación de dos de estos mapas también preserva la estructura. Por esa razón, los axiomas de la teoría de categorías requieren que haya una ley de composición asociativa sobre los morfismos y, de manera similar, que haya un morfismo de identidad de cada objeto en sí mismo. Pero no supone que los morfismos en realidad son funciones entre conjuntos, solo que se comportan como ellos.

$\mathsf{Set}$

$G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ $G$ $G ∈ S$ $S$

Ver también

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- En particular /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos por Adámek, Herrlich y Strecker
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

_{$\mathsf{Set}$}

_{$\mathbb Z$ $\mathbb Q$ $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Sin calificación, ' categoría ' normalmente significa 'categoría abstracta', introducida, hasta donde puedo ver, en 1945 y desarrollada en la década de 1960, mientras que las categorías concretas parecen aparecer en la década de 1970.}

— PJTraill
fuente

No estoy seguro de si eso fue retórico, pero definitivamente hay una clase adecuada de grupos. Por ejemplo, cada conjunto da lugar a un grupo trivial en el conjunto singleton que contiene ese conjunto. También puede producir una clase adecuada de ejemplos no isomórficos.

— Derek Elkins salió del SE

Gracias. Cuando dice: "es una teoría de mapeos de preservación de estructuras de objetos matemáticos de un tipo arbitrario ", ¿quiere decir "tipo" en el sentido de la teoría de tipos, o más informalmente?

— user56834

@ Programmer2134: Perdón si el tipo era confuso (me preguntaba); No me refiero a referirme a la teoría de tipos (de la que sé poco), sino a objetos / estructuras matemáticas con un cierto conjunto de propiedades (es decir, satisfacer ciertos axiomas) por objetos / estructuras matemáticas de un tipo dado .

— PJTraill

Eso aclara. Entonces, ¿la teoría de categorías también asume específicamente que existen tales axiomas, y que todos estos objetos satisfacen esos axiomas, o es simplemente un metacriterio que usamos para definir categorías (es decir, meta al marco de la teoría de categorías)?

— user56834

@ Programmer2134: No, la teoría de categorías ignora por completo los axiomas, y solo proporciona un lenguaje en el que hablar sobre los mapeos que preservan cierta estructura: sin saber qué estructura se conserva, sabemos que la combinación de dos de esos mapas también preserva la estructura. Por esa razón, los axiomas de la teoría de categorías requieren que haya una ley de composición asociativa sobre los morfismos y, de manera similar, que haya un morfismo de identidad de cada objeto en sí mismo. Pero no supone que los morfismos en realidad son funciones entre conjuntos, solo que se comportan como ellos.

— PJTraill

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$C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

$x$ $x$

— DW
fuente

Permítanme comparar categorías con conjuntos y tipos como lo hizo @AndrejBrauer en su respuesta a mi otra pregunta. Un conjunto formaliza la noción de una colección de objetos. Un tipo formaliza la noción de una construcción de objetos. ¿Qué noción formaliza "Categoría"? ¿Qué proceso / estructura matemática es la teoría de categorías teoría de ?

— user56834

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

@ Programmer2134, ese es un buen punto. Tiene sentido. Acepto tu punto

— DW

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Otro punto sobre la explicación de DW

$x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Me gustaría hacer una declaración más fuerte:

Un concepto se define por su categoría.

$M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

Una vez que tenga eso, la categoría le da muchas propiedades predeterminadas del concepto. Los ejemplos van desde

"qué instancias son esencialmente las mismas --- isomorfismo",
"¿Cuál de estas dos instancias es más y cuál es menos --- par sección-retracción",
"¿Cuántos de los elementos básicos están dentro de esta instancia? --- homset del objeto terminal"

y así.

En cuanto a la pregunta que haces en el comentario

¿De qué proceso / estructura matemática es la teoría de categorías una teoría?

$\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
fuente

Hmm No entiendo exactamente cómo si conocemos la categoría de una estructura, sabemos todo sobre esa estructura. No sabemos qué axiomas satisface la estructura, ¿verdad?

— user56834

@ Programmer2134 Repensar la teoría de conjuntos de Tom Leinster (que es un resumen del trabajo de Lawvere) es un buen ejemplo. El trabajo define la propia teoría de conjuntos mediante la definición de propiedades de los (las) morfismos de la categoría de conjuntos (sin acceder 'dentro' de cualquier objeto para acceder a cualquier supuesto preexistente que podría tener sobre los conjuntos.)

— Apiwat Chantawibul

Entonces, ¿estás diciendo que no se pierde información alguna sobre la teoría de conjuntos simplemente considerando la categoría de conjuntos y olvidando sus axiomas?

— user56834

@ Programmer2134 Sí, de hecho, se parece más a los axiomas que definen la teoría de conjuntos de ZFC que se tradujeron en propiedades puramente morfológicas. Entonces esa categoría, que afirmamos tiene algunas propiedades sobre los morfismos, define la teoría de conjuntos.

— Apiwat Chantawibul

¿Conoces un texto que explique específicamente este punto sobre la teoría de categorías de una manera clara?

— user56834

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Conjuntos

x \in A

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Filosofía. Los conjuntos tienen una estructura interna: están completamente determinados por sus elementos.

Observación. Un sistema axiomático ampliamente utilizado por los teóricos de conjuntos es ZFC. Su fortaleza es la simplicidad: solo hay conjuntos y una relación de membresía. Por otro lado, muchos matemáticos sienten que esto conduce a un concepto de conjunto que difiere de su comprensión y uso de conjuntos (compárense a continuación Leinster ). De hecho, la gran mayoría de los matemáticos (excepto los teóricos de conjuntos) parece no usar los axiomas de ZFC. Sin embargo, los conjuntos no se refieren necesariamente a ZFC (consulte las categorías y ETCS a continuación).

Categorias

A \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

Filosofía. Los objetos de una categoría no tienen una estructura interna a priori. Simplemente se caracterizan por sus relaciones (morfismos) con otros objetos.

Observación. El concepto básico de categorías es función y esto coincide con el uso de conjuntos por la gran mayoría de los matemáticos. Por lo tanto, puede ver las categorías como una generalización conceptual de la forma en que (la mayoría) de los matemáticos de campos muy diferentes usan conjuntos en su trabajo diario. Además de las categorías (y toposos) como una generalización, puede echar un vistazo al sistema axiomático ETCS que es axiomatizar conjuntos (compare a continuación Leinster y Lawvere ).

Pregunta. ¿Cuál es la diferencia entre decir que x es un grupo y decir que x está en la categoría Grp?

$x$ $x$

Críticos

En el caso de ZFC y ETCS, estos enfoques se pueden traducir entre sí, aunque ETCS es más débil que ZFC pero (aparentemente) cubre la mayoría de las matemáticas (ver MathStackExchange y Leinster). En principio (usando una extensión de ETCS) puede probar los mismos resultados con ambos enfoques. Por lo tanto, las filosofías mencionadas anteriormente de ambos conceptos no reclaman una distinción fundamental en lo que puede expresar o qué resultados puede probar.

Las expresiones establecidas y la pertenencia a ZFC son conceptos abstractos al igual que los conceptos de categorías o cualquier otro sistema axiomático y pueden significar cualquier cosa. Entonces, desde este punto de vista formal, afirmar que ZFC está preocupado por la estructura interna de los conjuntos, mientras que las categorías se ocupan de las relaciones externas de los objetos entre sí, parece inapropiado. Por otro lado, esta parece ser la filosofía o intuición de las teorías referentes.

Sin embargo, en la práctica preferirá un cierto Enfoque, por ejemplo, en aras de la claridad o la simplicidad, o porque algún concepto o una conexión con otra área evoluciona de forma más natural que en cualquier otro lugar.

Referencias

Spivak.Teoría de la categoría para científicos

Leinster: repensando la teoría de conjuntos

Lawvere: una teoría elemental de la categoría de conjuntos

MathStackExchange.Teoría de la categoría sin conjuntos

— FWE
fuente