¿Cuál es exactamente la diferencia semántica entre conjunto y tipo?

EDITAR: ahora he hecho una pregunta similar sobre la diferencia entre categorías y conjuntos.

Cada vez que leo acerca de la teoría de tipos (que ciertamente es bastante informal), no puedo entender realmente en qué se diferencia de la teoría de conjuntos, concretamente .

Entiendo que hay una diferencia conceptual entre decir "x pertenece a un conjunto X" y "x es de tipo X", porque intuitivamente, un conjunto es solo una colección de objetos, mientras que un tipo tiene ciertas "propiedades". Sin embargo, los conjuntos a menudo también se definen de acuerdo con las propiedades, y si lo son, entonces tengo problemas para comprender cómo esta distinción es importante de alguna manera.

Así, en el más concreto manera posible, lo que hace exactamente lo que implica sobre $x$ decir que es de tipo $T$ , en comparación con decir que es un elemento del conjunto $S$ ?

(Puede elegir cualquier tipo y conjunto que haga que la comparación sea más clara).

Para comprender la diferencia entre conjuntos y tipos, hay que volver a las ideas prematemáticas de "colección" y "construcción", y ver cómo los conjuntos y tipos los matematizan .

Hay un espectro de posibilidades sobre lo que se trata la matemática. Dos de estos son:

1. Pensamos en las matemáticas como una actividad en la que los objetos matemáticos se construyen de acuerdo con algunas reglas (piense en la geometría como la actividad de construir puntos, líneas y círculos con una regla y una brújula). Por lo tanto, los objetos matemáticos se organizan de acuerdo con cómo se construyen , y hay diferentes tipos de construcción. Un objeto matemático siempre se construye de una manera única, que determina su tipo único.

2. Pensamos en las matemáticas como un vasto universo lleno de objetos matemáticos preexistentes (pensemos en el plano geométrico como se da). Descubrimos, analizamos y pensamos en estos objetos (observamos que hay puntos, líneas y círculos en el plano). Los recogemos en conjunto . Por lo general, recopilamos elementos que tienen algo en común (por ejemplo, todas las líneas que pasan por un punto dado), pero en principio un conjunto puede mantener una selección arbitraria de objetos. Un conjunto se especifica por sus elementos, y solo por sus elementos. Un objeto matemático puede pertenecer a muchos conjuntos.

No estamos diciendo que las posibilidades anteriores son las únicas dos, o que cualquiera de ellas describe completamente lo que son las matemáticas. Sin embargo, cada vista puede servir como un punto de partida útil para una teoría matemática general que describe útilmente una amplia gama de actividades matemáticas.

Es natural tener un tipo e imaginar la colección de todas las cosas que podemos construir utilizando las reglas de la T . Esta es la extensión de T , y es no t sí. Por ejemplo, aquí hay dos tipos que tienen diferentes reglas de construcción, pero tienen la misma extensión:$T$$T$$T$ $T$

1. El tipo de pares donde n se construye como un número natural, y p se construye como una prueba que demuestra que n es un número primo par mayor que 3 .$(n, p)$$n$$p$$n$$3$

2. El tipo de pares donde m se construye como un número natural, y q se construye como una prueba que demuestra que m es un primo impar menor que 2 .$(m, q)$$m$$q$$m$$2$

Sí, estos son ejemplos triviales tontos, pero el punto se destaca: ambos tipos no tienen nada en su extensión, pero tienen diferentes reglas de construcción. En contraste, los conjuntos y { m ∈ N ∣ m  es un primo impar menor que  2 } son iguales porque tienen los mismos elementos.

$$\{ n \in \mathbb{N} \mid \text{$n$ is an even prime larger than $3$} \}$$ $$\{ m \in \mathbb{N} \mid \text{$m$ is an odd prime smaller than $2$} \}$$

Tenga en cuenta que la teoría de tipos no se trata de sintaxis. Es una teoría matemática de las construcciones, al igual que la teoría de conjuntos es una teoría matemática de las colecciones. Sucede que las presentaciones habituales de la teoría de tipos enfatizan la sintaxis y, en consecuencia, las personas terminan pensando que la teoría de tipos es la sintaxis. Este no es el caso. Confundir un objeto matemático (construcción) con una expresión sintáctica que lo representa (un término anterior) es un error de categoría básica que ha intrigado a los lógicos durante mucho tiempo, pero ya no.

To start, sets and types aren't even in the same arena. Sets are the objects of a first-order theory, such as ZFC set theory. While types are like overgrown sorts. To put it a different way, a set theory is a first-order theory within first-order logic. A type theory is an extension of logic itself. Martin-Löf Type Theory, for example, is not presented as a first-order theory within first-order logic. It's not that common to talk about sets and types at the same time.

As Discrete lizard states, types (and sorts) serve a syntactic function. A sort/type behaves as a syntactic category. It lets us know what expressions are well-formed. For a simple example using sorts, let's say we described the theory of vector spaces over an arbitrary field as a 2-sorted theory. We have a sort for scalars, $\mathsf S$, and a sort for vectors, $\mathsf V$. Among many other things, we'd have an operation for scaling: $\mathsf{scale}:\mathsf S\times \mathsf V\to \mathsf V$. This lets us know that $\mathsf{scale}(\mathsf{scale}(s,v),v)$ is simply not a well-formed term. In a type theoretic context, an expression like $f(x)$ requires $f$ to have a type $X\to Y$ for some types $X$ and $Y$. If $f$ does not have the type of a function, then $f(x)$ is simply not a well-formed expression. Whether an expression is of some sort or has some type is a meta-logical statement. It makes no sense to write something like: $(x:X)\implies y=3$. First, $x : X$ is simply not a formula, and second, it doesn't even conceptually make sense as sorts/types are what let us know which formulas are well-formed. We only consider the truth value of well-formed formulas, so by the time we're considering whether some formula holds, we better already know that it is well-formed!

In set theory, and particularly ZFC, the only non-logical symbol at all is the relation symbol for set membership, $\in$. So $x\in y$ is a well-formed formula with a truth value. There are no terms other than variables. All the usual notation of set theory is a definitional extension to this. For example, a formula like $f(x)=y$ is often taken to be shorthand for $(x,y)\in f$ which itself may be taken as shorthand for $\exists p.p\in f\land p=(x,y)$ which is shorthand for

$$\exists p.p\in f\land(\forall z.z\in p\iff [z = x\lor(\forall w.w\in z\Leftrightarrow w = y)])$$ At any rate, any set can take the place of $f$ and everything is a set! As I pointed out in a different question recently, $\pi(7)=3$ where $\pi$ is the real number is a completely legitimate and meaningful (and potentially even true) set theoretic expression. Basically, anything you write that parses in set theory can be given some meaning. It may be a completely spurious meaning, but it has one. Sets are also "first-class" objects in set theory. (They better be as they are the only objects usually.) A function like $$f(x)=\begin{cases}\mathbb N, &\text{if }x=1\\7,&\text{if }x=\mathbb Q\\x\cap \mathbb R^\mathbb R,&\text{if }x=(\mathbb Z,\mathbb N)\end{cases}$$ is a completely legitimate function in set theory. There is nothing even remotely analogous to this in type theory. The closest would be to use codes for a Tarskian universe. Sets are the objects of set theory; types are not the object of type theory.

A type is not a collection of things (neither is a set for that matter...), and it is not defined by a property. A type is a syntactic category that lets you know what operations are applicable to terms of that type and which expressions are well-formed. From a propositions-as-types perspective, what types are classifying are the valid proofs of the proposition to which the type corresponds. That is, the well-formed (i.e. well-typed) terms of a given type correspond to the valid proofs (which are also syntactic objects) of the corresponding proposition. Nothing like this is happening in set theory.

Set theory and type theory are really not anything alike.

$x$ being of type $T$ usually is used to describe syntax, while claiming that $x$ is in set $S$ is usually used to indicate a semantic property. I will give some examples to clarify this difference in usage of types and sets. For the difference in what types and sets actually are, I refer to Andrej Bauer's answer.

An example

To clarify this distinction, I will use the example given in Herman Geuvers' lecture notes. First, we look at an example of inhabiting a type:

$$3+(7*8)^5:\mathrm{Nat},$$ $$3\in \{n\in\mathbb{N}\mid \forall x,y,z\in\mathbb{N}^+ (x^n+y^n\neq z^n)\}$$

The main difference here is that to test whether the first expression is a natural number, we don't have to compute some semantic meaning, we merely have to 'read off' the fact that all literals are of type Nat and that all operators are closed on the type Nat.

However, for the second example of the set, we have to determine the semantic meaning of the $3$ in the context of the set. For this particular set, this is quite hard: the membership of $3$ for this set is equivalent to proving Fermat's last theorem! Do note that, as stated in the notes, the distinction between syntax and semantics cannot always be drawn that clearly. (and you might even argue that even this example is unclear, as Programmer2134 mentions in the comments)

Algorithms vs Proofs

To summarize, types are often used for 'simple' claims on the syntax of some expression, such that membership of a type can be checked by an algorithm, while to test membership of a set, we would in usually require a proof.

To see why this distinction is useful, consider a compiler of a typed programming language. If this compiler has to create a formal proof to 'check types', the compiler is asked to do an almost impossible task (automated theorem proving is, in general, hard). If on the other hand the compiler can simply run an (efficient) algorithm to check the types, then it can realistically perform the task.

A motivation for a strict(er) interpretation

There are multiple interpretations of the semantic meaning of sets and types. While under the distinction made here extensional types and types with undecidable type-checking (such as those used in NuPRL, as mentioned in the comments) would not be 'types', others are of course free to call them as such (just as free as they are as to call them something else, as long as their definitions fit).

Sin embargo, nosotros (Herman Geuvers y yo) preferimos no tirar esta interpretación por la ventana, por lo que yo (no Herman, aunque podría estar de acuerdo) tenemos la siguiente motivación:

En primer lugar, la intención de esta interpretación no está muy lejos de la de Andrej Bauer. La intención de una sintaxis generalmente es describir cómo construir algo y generalmente es útil tener un algoritmo para construirlo. Además, las características de un conjunto generalmente solo se necesitan cuando queremos una descripción semántica, para lo cual se permite la indecidibilidad.

So, the advantage of our more stricter description is to keep the separation simpler, to get a distinction more directly related to common practical usage. This works well, as long as you don't need or want to loosen your usage, as you would for, e.g. NuPRL.

Creo que una de las diferencias más concretas sobre conjuntos y tipos es la diferencia en la forma en que las "cosas" en su mente están codificadas en el lenguaje formal.

Tanto los conjuntos como los tipos le permiten hablar sobre cosas y colecciones de cosas. La principal diferencia es que con los conjuntos, puede hacer cualquier pregunta que desee sobre las cosas y tal vez sea cierto, tal vez no; mientras que con los tipos, primero tienes que demostrar que la pregunta tiene sentido.

Por ejemplo, si tienes booleanos $\mathbb B=\{\operatorname{true},\operatorname{false}\}$ y números naturales $\mathbb N=\{0, 1,\dots \}$, con tipos, no puedes preguntar si $\operatorname{true}=1$ que puedes con conjuntos.

Una forma de interpretar esto es que con los conjuntos, todo está codificado en una sola colección: la colección de todos los conjuntos. $0$ está codificado como $[0]=\{\}$, $n+1$ está codificado como $[n+1]=\{[n]\}\cup [n]$ y $\operatorname{true}$ y $\operatorname{false}$puede ser codificado por dos conjuntos distintos. Para que tenga sentido preguntar si$\operatorname{true}=1$, ya que puede entenderse como preguntar si "la codificación elegida para $\operatorname{true}$ es lo mismo que la codificación elegida para $1$". Pero la respuesta a esta pregunta podría cambiar si elegimos otra codificación: se trata de las codificaciones y no de las cosas.

Luego puede pensar en los tipos como una descripción de la codificación de las cosas que contiene. Con tipos, hacer la pregunta de si$a=b$, primero tienes que demostrar que $a$ y $b$ tienen el mismo tipo, es decir, se codificaron de la misma manera, lo que prohíbe preguntas como $\operatorname{true}=1$. Todavía podrías querer tener un tipo grande$S$ en el que ambos $\mathbb B$ y $\mathbb N$ podría codificarse y luego recibir dos codificaciones $\iota_\mathbb B:\mathbb B\to S$ y $\iota_\mathbb N:\mathbb N\to S$, podrías preguntar si $\iota_\mathbb B(\operatorname{true})=\iota_\mathbb N(1)$ pero el hecho de que esta pregunta depende de las codificaciones (y la elección de las codificaciones) ahora es explícito.

Tenga en cuenta que en esos casos, si la pregunta tenía sentido era realmente fácil de ver, pero podría ser mucho más difícil como, por ejemplo, $(\operatorname{if} \text{very_hard_question} \operatorname{then} 1 \operatorname{else} \operatorname{true})=1$.

In summary, sets let you ask any question you want, but types force you to make encodings explicit when the answer may depend on them.