¿Por qué algunos motores de inferencia necesitan asistencia humana mientras que otros no?

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^{Estoy aprendiendo la prueba de teorema automatizado / solucionadores SMT / asistentes de prueba por mi cuenta y publico una serie de preguntas sobre el proceso, comenzando aquí .}

¿Por qué los probadores de teoremas automatizados, es decir , los solucionadores de ACL2 y SMT no necesitan asistencia humana, mientras que los asistentes de pruebas, es decir, Isabelle y Coq , sí?

^{Encuentra la siguiente pregunta de la serie aquí .}

— Guy Coder
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La validez de las fórmulas de orden superior en general no es decidible y los espacios de búsqueda son enormes , por lo que todo lo que puede hacer es tratar de encontrar una prueba, suponiendo que exista, enumerando hábilmente el espacio de prueba (piense en un mazo , acertadamente nombrado) Pero eso es duro. Los humanos pueden jugar el oráculo, proporcionando los lemas clave para guiar la prueba.

Los probadores automáticos, por otro lado, generalmente tratan solo con lógicas decidibles (subconjuntos de), por ejemplo, lógica proposicional o subclases de lógica de primer orden, por lo que pueden durar mucho tiempo, pero sabes que eventualmente tendrán éxito.

Tenga en cuenta que existen enfoques para permitir a los asistentes de pruebas encontrar esos lemmata importantes, por ejemplo, IsaPlanner . La herramienta adivina lemmata (inductiva) mediante enumeración y pruebas aleatorias y luego intenta probarlas. Al repetir el proceso, se pueden encontrar automáticamente muchos lemas de, por ejemplo, las definiciones típicas de tipos de datos.

ABC pequeño

validez : una fórmula es válida, contiene lo que asigne a las variables libres.
$\forall$ $\exists$
capacidad de decisión : una propiedad (booleana) es (Turing) decidible si hay un algoritmo que responde "sí" o "no" (correctamente) después de un período de tiempo finito.
lógica proposicional - también lógica de orden cero ; No se permite la cuantificación.
$\forall x. P(x)$ $\forall f. f(4) > 0$
lógica de orden superior : puede cuantificar sobre (y "construir") objetos complejos arbitrariamente, por ejemplo, funciones de orden superior (funciones que toman funciones).

— Rafael
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@GuyCoder: Sin embargo, no estoy seguro de que sea factible. No podemos escribir todas las respuestas de modo que sea digerible sin conocimiento previo. Los ATP son cosas avanzadas; No recomendaría a nadie que los aprenda sin una sólida formación en lógica. Escribir respuestas de la forma en que parece quererlas solo puede crear una ilusión de comprensión, pero en realidad no ayuda, en mi humilde opinión. Por lo tanto, todos los interesados en su serie deben hacer algunas lógicas primero, con lo que también podemos ayudar, en otras preguntas.

— Raphael

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Diría que la distinción clásica de "prueba de teorema automatizada" (ATP) frente a "prueba de teorema interactiva" (ITP) necesita ser reconsiderada. Si toma un sistema ITP conocido como Isabelle / HOL hoy (Isabelle2013 desde febrero de 2013), integra una gran cantidad de herramientas adicionales de la cartera ATP:

Herramientas de prueba automatizadas genéricas a bordo: herramientas Isabelle de la vieja escuela como fasty blast(por L. Paulson) y nuevos probadores automatizados como metis(por J. Hurd).
ATP externos para la lógica de primer orden que se invocan a través de Sledgehammer: E prover, SPASS, Vampire. La prueba que se encuentra se analiza para determinar qué lemas han contribuido a ella, reduciendo 10000 a 10 y alimentando el resultado metis.
SMT externos con reconstrucción de prueba parcial, especialmente para Z3 (por S. Boehme).
Herramientas para encontrar ejemplos contrarios de declaraciones no comprobadas: Nitpick / Kodkodi (J. Blanchette) y Quickcheck (L. Bulwahn).

¿Todas esas cosas automatizadas hacen que Isabelle sea un comprobador de teoremas automatizado?

En última instancia, creo que la distinción entre "ATP" y "ITP" es solo una especie de "etiqueta" que dice cómo desea posicionar o "vender" su sistema: los ATP afirman ser "herramientas de botón", pero en práctica tendrá que interactuar (indirectamente), proporcionando parámetros o sugerencias, o reformulando su problema. Eso podría ser realmente un desafío, debido a los largos tiempos de ejecución que son comunes en la comunidad ATP.

En contraste, un sistema ITP está hecho para que las personas que esperan en el lugar, con acceso medio decente a los estados de prueba internos, vean lo que falta para terminar una prueba. Un sistema ITP que envuelva las herramientas ATP a la manera de Isabelle podría resultar más atractivo para más usuarios y más aplicaciones, que ITP o ATP solo.

— Makarius
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Ha pasado un tiempo, pero si recuerdo correctamente, fasttampoco lo blastson los probadores; son básicamente heurísticas que usan ciertas reglas que pueden encontrar una prueba. (Por supuesto, son probadores en un subconjunto de fórmulas adecuadamente pequeño, lo cual es cierto para cualquier método de enumeración de prueba.)

— Raphael

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Cuando dices "prover", ¿te refieres a "procedimiento de decisión" para cierto lenguaje fijo? La mayoría de los "comprobadores" de ATP son procedimientos de semi-decisión, la forma en que lo caracterizó fasty blast. Tenga en cuenta que blastfue presentado por L. Paulson como "Un comprobador genérico de cuadros y su integración con Isabelle" en algún taller de CADE: el documento apareció más tarde en J. UCS 1999. Isabelle tiene más "probadores" y ese sentido, por ejemplo, metis, pero también procedimientos de decisión para algunos idiomas especiales (subconjuntos de aritmética).

— Makarius