¿Existe un algoritmo eficiente para determinar si un gráfico tiene o no un automorfismo no trivial?

Estoy trabajando en un problema relacionado con los cuadrados latinos, y quiero un método para lo que esencialmente se reduce al problema de decisión:

Entrada : Un gráfico simple finito G.
Salida : YESsi G tiene un automorfismo no trivial, de lo NOcontrario.

Por lo tanto...

Pregunta : ¿Existe un algoritmo eficiente para determinar si un gráfico tiene o no un automorfismo no trivial?

Podríamos usar Nauty o Bliss (y posiblemente otros paquetes) para calcular todo el grupo de automorfismo, pero no lo necesito; todo lo que necesito determinar es si es o no trivial.

Es posible que este problema de decisión sea teóricamente equivalente en complejidad a "calcular todo el grupo de automorfismo" de alguna manera. No estoy seguro.

Para mi propósito, "eficiente" básicamente significa "más rápido en la práctica que computar todo el grupo de automorfismo", pero también estoy interesado en la teoría detrás de esto.

— Rebecca J. Stones
fuente

Esto es equivalente al isomorfismo gráfico.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Hasta donde yo sé, no hay una reducción conocida de "¿Es

isomorfo a

" a "¿Tiene

un automorfismo no trivial?". Obviamente, si

entonces su unión disjunta tiene un automorfismo no trivial (intercambiar

) pero cualquier automorfismo no trivial de

también sería un automorfismo no trivial de

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

G

$G$

G_{1} ≃ G_{2}

$G_1\simeq G_2$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

G_{1}

$G_1$

G_{1} + G_{2}

$G_1+G_2$

— David Richerby

Con respecto a su última pregunta, si se le da un oráculo a GA, uno puede, en tiempo polinómico, encontrar un grupo generador del grupo de automorfismo, entonces GI es Turing reducible a GA, que no estoy seguro de que se sepa.

— Ariel

@DavidRicherby ¿Qué pasa con el siguiente documento? sciencedirect.com/science/article/pii/…

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus OK, entonces estás usando reducciones de Turing y yo estoy usando muchas reducciones. Y supongo que las reducciones de Turing son más relevantes para alguien que realmente está tratando de resolver el problema.

— David Richerby

Como también está interesado en la teoría detrás de esto, le daría un algoritmo de tiempo cuasi-polinomial para su problema.

$u\neq v$ $G$ $u$ $v$

$G$ $G'$ $u$ $G$ $v$ $G'$

$w\in N(u)$

$w\in N(copy\ of\ v)$

Todo el camino muy largo mencionado anteriormente, pero polinomialmente largo , debe ser de la misma longitud.

Llame al algoritmo de Babai en la entrada de este par de gráficos recién producido.

$(u, v)$ $YES$ $YES$

$YES$ $NO$

$N(u)$ $N(v)$ $N(u)$ $N(v)$ $YES$ $u$ $v$ $G$ $G'$ $G$

La complejidad del tiempo de ejecución sigue siendo cuasi-poli.

— Thinh D. Nguyen
fuente