Si todos creen que P ≠ NP, ¿por qué todos son escépticos ante los intentos de prueba para P ≠ NP?

55

Muchos parecen creer que , pero muchos también creen que es muy poco probable que esto se pruebe. ¿No hay alguna inconsistencia en esto? Si sostiene que tal prueba es improbable, entonces también debe creer que faltan argumentos sólidos para ¿O hay buenos argumentos para que sea poco probable, en una línea similar a decir, la hipótesis de Riemann se mantiene para grandes números, o los límites inferiores muy altos en el número de números primos existentes con una pequeña distancia de separación a saber? la conjetura de Twin Prime? $P\ne NP$ $P\ne NP$ $P\ne NP$

complexity-theory p-vs-np

— pafnuti
fuente

61

Porque las ilusiones no son una prueba. Y porque no son todos. Y porque "creer" no es suficiente para la mayoría de las personas que piensan matemáticamente.

— Raphael

26

"por qué todos son escépticos con respecto a los intentos de prueba" es algo muy diferente de "muchos creen que es muy poco probable que esto se pruebe".

— Tom van der Zanden

95

Creo en la existencia del presidente de Nigeria y que a veces se enfrenta a problemas relacionados con el movimiento de divisas. Sin embargo, soy escéptico con respecto a los correos electrónicos que recibo que dicen que piden mi ayuda con estos problemas.

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

3

en este punto, el problema ha estado abierto casi medio siglo y hay un premio no reclamado de $ 1 millón por más de 1½ década (Claymath). Por lo tanto, es probable que el problema sea aproximadamente y / o al menos tan difícil como los problemas épicos como los que menciona (primos Riemann / Twin). Riemann no se resolvió durante ~ 1½ siglo y los primos gemelos aún no se resuelven después de ~ 2millenia. en otras palabras, el consenso general / la sabiduría convencional es que "parece ser cierto" pero por "razones que están más allá de la comprensión humana actual / técnicas matemáticas existentes / conocimiento". Sin embargo la mayoría de los científicos creen que será finalmente ser resuelto ...

— VZN

3

Parece que todos se han centrado en justificar las buenas razones para ser escépticos ante los nuevos intentos de pruebas ... pero nadie realmente ha abordado lo que pensé que era la pregunta central de los OP: ¿por qué / cómo estamos tan seguros de que algo que parece imposible de probar todavía es cierto? ? como un completo laico idiota me parece análogo a ser más difícil demostrar que una cosa no existe que una cosa existe (si tienes la cosa, entonces la última es fácil, pero para la primera nunca estás seguro de si realmente no existe o simplemente no lo has encontrado todavía)

— Anentropic

93

La gente es escéptica porque:

Ningún experto ha recibido pruebas sin haber sido rescindido poco después
Se ha hecho tanto esfuerzo para encontrar una prueba, sin éxito, que se asume que una será sustancialmente complicada o inventará nuevas matemáticas para la prueba.
Las "pruebas" que surgen con frecuencia no abordan los obstáculos que se sabe que existen. Por ejemplo, muchos afirman que 3SAT no está en P, al tiempo que proporcionan un argumento que también se aplica a 2SAT.

Para ser claros, el escepticismo es de las pruebas, no del resultado en sí.

— jmite
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16

Un punto importante es que se ha demostrado que las clases amplias de técnicas de prueba no son suficientes. Ver edición de Wikipedia : también mencionado en la respuesta de Evil

— JollyJoker

44

Otra razón por la que me parece importante es la gravedad de la situación si uno responde mal. Si se supone P ≠ NP, y eso resulta ser falso, hay literalmente miles de millones de dólares en infraestructura y transacciones que están principalmente protegidas por la presunta naturaleza NP de un ataque a su criptografía.

— Cort Ammon

14

Θ (n^{100})

$\Theta(n^{100})$

@DavidRicherby: por otro lado, al menos con la ruptura de algoritmos criptográficos, la complejidad a menudo se reduce considerablemente con el tiempo.

— TLW

Ω (n^{100})

$\Omega(n^{100})$

43

Las creencias son ortogonales a las pruebas. La creencia puede dirigir las soluciones intentadas por los investigadores o más bien su interés principal, pero esto no les impide comprobar una prueba de todos modos.

$P \ne NP$

No hay inconsistencia en la encuesta de sospechas y conjeturas informadas. Además, la creencia de que algo no se probará no es perspicaz de ninguna manera, sin una prueba de imposibilidad de prueba.

Los años de intentos, reclamos y métodos descartados vuelven a la gente escéptica.

Mire los documentos anteriores que intentaron contribuir con algo a la resolución.

"Los reclamos extraordinarios requieren evidencia extraordinaria".

Esto caracteriza con bastante precisión el escepticismo.

— Mal
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77

Bueno, no ortogonal . Es evidente que ser probado es verdad se correlaciona con ser creído como cierto.

— Acumulación

2

¿Su cita resaltada no habla realmente de lo que la pregunta original está haciendo? Es decir: si la afirmación P ≠ NP es tan ampliamente creída y aceptada, ¿por qué es un reclamo extraordinario, no debería ser un reclamo ordinario? Supongo que es como usted dice, la afirmación extraordinaria no es que P ≠ NP sino que se ha encontrado una prueba. Y eso sería extraordinario solo en base a la historia de intentos de pruebas. No estoy seguro de cuál es mi punto, excepto por el hecho de que su énfasis en esa cita fue interesante. :)

— Jack Casey

3

Si está usando "ortogonal" para significar algo diferente a "no correlacionado", entonces creo que lo está usando de una manera no estándar.

— Acumulación

1

Utilizo la palabra "ortogonal" de la manera más estándar y cs / math / dsp y no estoy de acuerdo con la correlación, dado el MO estándar, e incluso di un ejemplo. No está correlacionado desde el punto de vista científico, pero sí desde la heurística del comportamiento, que no debe mezclarse.

— Mal

1

@JackCasey, el reclamo es extraordinario porque no se ha probado, en comparación con miles de otros reclamos comprobados. No importa que todos "crean" eso.

— Arturo Torres Sánchez

22

Algunas razones, algunas genéricas y otras específicas.

La razón genérica es que este es un famoso problema conocido desde hace mucho tiempo que muchas personas inteligentes han intentado resolver, y muchas personas inteligentes se han equivocado. Las probabilidades de que cualquier prueba nueva sea válida es extremadamente baja según este historial.

En este caso específico , se ha investigado qué pruebas no funcionan . Se ha demostrado que básicamente todas las técnicas de prueba conocidas para probar cosas en informática no pueden probar P! = NP .

Wikipedia cubre esto y señala cómo las "pruebas de relativización" (pruebas que funcionan independientemente de los oráculos a los que su TM tenga acceso), las "pruebas naturales" (que involucran límites inferiores del circuito) y la "aritmetización" son insuficientes para distinguir P y NP (muéstrales igual o diferente), o cualquier prueba de este tipo sería un resultado ridículamente más poderoso.

En resumen, no solo muchas personas inteligentes han estado trabajando en esto durante mucho tiempo y han fallado, sino que han demostrado que familias enteras de pruebas no pueden usarse para resolver este problema. Entonces, cuando a alguien se le ocurre P! = NP, existe un escepticismo natural, seguido de darse cuenta de que se viola una de las muchas pruebas sobre tales pruebas, y luego ya no es necesario verificar el resto del resultado.

— Yakk
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Me pregunto si es realmente cierto que muchas personas inteligentes intentaron probar P ≠ NP, o si se enfocaron en algo alcanzable, como mostrar que ciertas técnicas de prueba conocidas no funcionan.

— gnasher729

3

@gnasher Leer wikipedia. Esas pruebas de "esta técnica no puede funcionar" surgieron de los intentos de usar esas técnicas para probar P? = NP. A cualquiera se le ocurre una prueba no revitalizante de cualquier cosa en CS que no se encuentre dentro de las otras técnicas de prueba descartadas, apuesto a que las personas lo intentarán.

— Yakk

El límite inferior ACC0 de Ryan Williams aparentemente evade todas las barreras conocidas (si existen para los circuitos ACC0).

— Lwins

7

La gente no cree ninguna "prueba" debido a la dificultad percibida.

Digamos que nos encontramos con extraterrestres que son mejores en matemáticas que humanos. Su hijo escolar promedio es tan bueno en matemáticas como nuestros mejores matemáticos. No es un niño de escuela inteligente, sino un niño de escuela promedio.

Han demostrado la hipótesis de Riemann, el teorema del gemelo principal y la primera conjetura de Hardy-Littlewood, y la hipótesis de Goldbach. ¿Qué piensan acerca de probar que el problema del vendedor ambulante puede resolverse en tiempo polinómico? Encontrarán poco probable que alguien pueda resolver esto. ¿Qué piensan acerca de probar que el problema del vendedor ambulante no puede resolverse en tiempo polinómico? Creo que encontrarán aún menos probable que alguien pueda encontrar una prueba.

Esa es solo mi opinión, pero si alguien dice que tiene una prueba para P = NP o P ≠ NP, no lo creeré.

PD. La hipótesis de Riemann está abierta por más tiempo porque es un problema matemático clásico que tenía sentido para los matemáticos hace 100 años. P ≠ NP es informática, algo mucho más nuevo, y AFAIK toda la noción de NP proviene de la década de 1970 solamente. Ha habido progreso en la hipótesis de Riemann (no podemos probar "todos los ceros yada yada" pero al menos "una gran parte de todos los ceros yada yada"), a diferencia de P ≠ NP. Es unidimensional. Se trata de los ceros de una sola función. P ≠ NP trata sobre todos los algoritmos posibles para resolver un problema.

— gnasher729
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77

¿Por qué crees que resolver P vs NP es más difícil que la hipótesis de Riemann? Este último ha estado abierto por mucho más tiempo.

— Yuval Filmus

44

No creo que sea útil especular sobre qué extraterrestres que son más inteligentes que nosotros podrían tener como opiniones no fácticas es útil.

— Matthew leyó el

1

No existe correlación entre la dificultad y la edad de los problemas matemáticos. No hay una solución única para un problema matemático. La dificultad depende de la perspectiva. Puede haber soluciones simples para P = NP y también puede haber soluciones complejas, lo mismo con la Hipótesis de Riemann y cualquier otra conjetura. Finalmente, decir que RH se trata de los ceros de una función y, por lo tanto, no es tan difícil, no es válido. Muchos problemas matemáticos difíciles pueden reformularse como los ceros de una función.

— Glen Wheeler

1

@GlenWheeler ¿Cómo define la dificultad sin invocar qué tan duro trabaja la gente para resolverlo, que necesariamente invoca cuánto tiempo ha estado disponible el problema?

— djechlin

La dificultad es un concepto problemático. En lugar de utilizar un lenguaje tan indebidamente definido, hable sobre lo que realmente quiere decir: por ejemplo, que ha existido durante X años, Y que son uno de los famosos "problemas del millón de dólares". Esto ya es una indicación de lo que quiere concluir, por lo que el desvío a través de este concepto de "dificultad" es completamente innecesario.

— Glen Wheeler

7

La razón por la que las personas son escépticas ante los intentos de prueba de P! = NP es la misma razón por la que las personas son escépticas sobre las pruebas de cualquier conjetura famosa: las pruebas falsas se publican cada pocos meses y se rechazan. Mientras tanto, las pruebas correctas de conjeturas famosas parecen tener pocos problemas para llamar la atención, a pesar de esto (ver, por ejemplo, la conjetura de Poincare o el último teorema de Fermat), pero estas pruebas a menudo se basan en un conocimiento profundo de los esfuerzos a gran escala por parte de grupos de matemáticos (como el flujo Ricci de Hamilton para la conjetura de Poincare o la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para el último teorema de Fermat) incluso si los pasos finales fueron realizados por un solo teórico.

P vs NP es un problema particularmente espinoso porque todos los métodos "obvios" no solo han fallado en proporcionar una prueba, sino que han demostrado ser inútiles con teoremas sólidos. Es muy probable que los aspirantes a principiantes piensen que se han topado con una prueba, pero en su lugar han caído en una de estas trampas conocidas. Sorprendentemente, mostrar que varias formas de probar que P! = NP no puede funcionar son los principales avances en el campo. Es algo escandaloso que ni siquiera podamos demostrar que 3Sat no es un tiempo lineal decidible, ¡mucho menos fuera del tiempo polinómico!

Sin embargo, diría que muy pocas personas creen que no se probará nunca. De hecho, la afirmación P! = NP es un obstáculo tan básico en nuestra comprensión de la complejidad computacional que es difícil no pensar que es verdad por una razón simple y elegante.

Sin embargo, si uno quiere ser cínico, P! = NP es equivalente a la afirmación de que solo porque una prueba es fácil (es decir, corta) no significa que no sea muy difícil encontrar la prueba (es decir, requiere un tiempo de búsqueda súper polinomial) ) De hecho, la mayoría de las teorías creen que no existe un algoritmo de tiempo sub- exponencial para encontrar pruebas que sugiera que, dado cualquier método de búsqueda de pruebas (es decir, un pensamiento matemático o una búsqueda por computadora), hay muchos teoremas con pruebas cortas simples que son extremadamente difíciles de entender. encontrar (potencialmente milenios de tiempo de búsqueda). Por supuesto, no se sabe si P! = NP es un teorema de este tipo.

Dicho eso, alguien podría publicar la prueba mañana.

— marmota olímpica
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4

Porque podrías pensar que es indecidible, y tal vez incluso indecidible si es indecidible. Muchos teoremas matemáticos son así.

— Niklas Rosencrantz
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11

Discutir la capacidad de decisión de P vs NP es un error de categoría. La capacidad de decisión es una propiedad de los problemas computacionales; P vs NP no es un problema computacional: es algo verdadero o falso (o posiblemente no demostrable). La analogía más cercana es que "¿Es P = NP?" es una instancia única de algún otro problema.

— David Richerby

2

Además, {"¿P = NP?"} Es trivialmente decidible, como se ha discutido anteriormente en el sitio.

— Raphael

55

Ustedes chicos son un poco rápidos en votar a favor de mi humilde opinión. Supongo que se refiere al hecho de que la hipótesis podría ser independiente de, por ejemplo, ZFC, que a veces también se denomina indecidible ( en.wikipedia.org/wiki/Independence_(mathematical_logic) ).

— DFF

44

@David establece explícitamente el contexto en "teoremas matemáticos". En ese contexto, una de las dos posibles interpretaciones del término no tiene sentido, me parece natural suponer que se estaba refiriendo a la otra interpretación.

— DFF

3

@DFF, sospecho que te estás perdiendo el punto. Muchos informáticos tienden a entender el concepto de "independencia". También entienden la palabra "independencia". El problema surge cuando alguien usa la palabra "indecidible" para referirse a "independiente", cuando habla con un científico de la computación - entre los informáticos, por defecto, "indecidible" se tomará como "indeterminable de Turing" (como el problema de detención " , no "independiente". Esto no se debe a que los informáticos nunca hayan oído hablar del concepto de independencia, es porque tenemos un significado estándar para el término "indecidible".

— DW