¿Hay otras formas de describir lenguajes formales además de las gramáticas?

Estoy buscando teorías matemáticas que traten de describir lenguajes formales (conjunto de cadenas) en general y no solo jerarquías gramaticales.

Hay muchas posibilidades Otros ya han mencionado autómatas que ofrecen una rica selección. Considere también los siguientes marcos:

1. Algunos lenguajes pueden definirse directamente mediante definiciones (co) inductivas . Por ejemplo, el punto de fijación más pequeño de
   es el mismo lenguaje que el descrito por(ba∣a)∗, el punto de fijación más grande es(ba∣a)ω. Tenga en cuenta que dicha definición también se puede escribir en forma de cálculo oregla de inferencia:$\qquad \begin{align*} \phantom{a} \\ &\phantom{\Rightarrow}\ \varepsilon \in L \\ w \in L &\Rightarrow aw \in L \\ aw \in L &\Rightarrow baw \in L \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $(ba\mid a)^*$$(ba\mid a)^\omega$
   $\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \frac{}{\varepsilon}, \quad \frac{w}{aw}, \quad \frac{aw}{baw} \\ \phantom{a} \end{align*}$

2. Las palabras definen estructuras de palabras que pueden usarse como modelos de fórmula lógica . Esencialmente, cada palabra define el dominio de sus posiciones , predica P a : D → { 0 , 1 } para que P a ( i ) ⟺ w i = a para todo a ∈ Σ , un predicado < que es < de $D_w = \{1, \dots, n\}$$P_a : D \to \{0,1\}$$P_a(i) \Longleftrightarrow w_i = a$$a \in \Sigma$$<$$<$$\mathbb{N}$restringido a y un predicado suc : D w × D w → { 0 , 1 } que es verdadero si y solo si el segundo parámetro es el sucesor directo del puño. Entonces, por ejemplo, si w = a a b a b a a b entonces$D_w$$\operatorname{suc} : D_w \times D_w \to \{0,1\}$
   $w = aababaab$
   hecho, estafórmula de primer ordendefine --- a través del conjunto de todas las estructuras de palabras que la cumplen --- el mismo lenguaje que(ba∣a)∗. El correspondientelenguajeω(ba∣a)ωse describe mediante lafórmula LTL$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ S_w \models \forall\, i. \forall\, j.\ (P_b(i)\ \land\ \operatorname{suc}(i,j)) \to \lnot P_b(j); \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $(ba\mid a)^*$$\omega$$(ba\mid a)^\omega$
   Se conocen varias equivalencias entre las clases de lenguaje clásico y ciertas lógicas. Por ejemplo,FOcorresponde a idiomas libres de estrellas,MSOdébila idiomas regulares yMSOaidiomas regularesω. Veraquípara referencias.$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \square\,(P_b \to\bigcirc(\lnot P_b)) \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $\omega$

3. Algo ortogonal a las clases clásicas son los lenguajes de patrones . Suponga un alfabeto terminal y un alfabeto variable X = { x 1 , x 2 , ... } . Una cadena p ∈ ( Σ ∪ X ) + se llama patrón . Deje H = { σ ∣ σ : X → Σ ∗ } el conjunto de sustituciones. Definimos el lenguaje de un patrón p como$\Sigma$$X=\{x_1, x_2,\dots\}$$p \in (\Sigma \cup X)^+$$\mathcal{H}= \{\sigma \mid \sigma : X \to \Sigma^*\}$$p$
   Tenga en cuenta queσse extiende para trabajar en patrones; Los símbolos de terminal no se modifican. Como ejemplo, considereL(x1abbax1)={wabbaw∣w∈{a,b}∗}.$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \mathcal{L}(p) = \{\sigma(p) \mid \sigma \in \mathcal{H}\}. \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $\sigma$
   $\mathcal{L}(x_1abbax_1)= \{wabbaw\mid w \in \{a,b\}^*\}$
   Tenga en cuenta que permitimos sustituciones para eliminar variables; Algunas propiedades de la clase de lenguajes de patrones son muy diferentes para las sustituciones de eliminación frente a las de no eliminación. Los lenguajes de patrones son de particular interés en el aprendizaje al estilo Gold .

Deberías echar un vistazo a la teoría de autómatas . Hay mucho material al respecto.

Por ejemplo, puede definir un lenguaje regular con un autómata finito no determinista con bordes etiquetados: una cadena pertenece al lenguaje si el autómata puede seguir las transiciones etiquetadas por sus caracteres y se detiene en un estado final.

Además, un autómata pushdown puede reconocer una gramática libre de contexto .

Otra forma de definir idiomas es mediante las máquinas de Turing .

De la jerarquía de Chomsky hay cuatro tipos de lenguajes formales (cada uno de ellos es un subconjunto de los siguientes):

Un lenguaje formal regular puede ser descrito por:

1. Gramática regular
2. Autómata finito (determinista / no determinista)
3. Expresión regular

1., 2. y 3. son equivalentes y de uno de ellos puedes construir los otros.

Un lenguaje formal sin contexto puede ser descrito por:

1. Gramática sin contexto
2. Pushdown autómata

También 1. y 2. son equivalentes.

Un lenguaje formal sensible al contexto puede ser descrito por:

1. Autómata lineal acotado (máquina de Turing con cinta restringida)

Un lenguaje formal recursivamente enumerable puede ser descrito por:

1. Máquina de Turing total

Además de las otras respuestas, uno puede describir y clasificar idiomas en términos de "generadores" y propiedades de cierre. Por ejemplo, tiene sentido hablar sobre el AFL más pequeño generado por algún lenguaje. Un buen lugar para comenzar a aprender sobre este tipo de descripción es este libro, aunque puede ser bastante difícil encontrar una copia impresa.