Un lenguaje en NSPACE (O (n)) y muy probablemente no en DSPACE (O (n))

En realidad, descubrí que el conjunto de lenguajes sensibles al contexto, ( \ mathbf {= NSPACE (O (n)) = LBA} idiomas aceptados) no se discuten tan ampliamente como \ mathbf {REG} (idiomas regulares) o \ mathbf {CFL} (lenguajes sin contexto). Y también el problema abierto \ mathbf {DSPACE (O (n))} = ^ {?} \ Mathbf {NSPACE (O (n))} no es tan famoso como el problema "análogo": " \ mathbf {P} = ^ {?} \ mathbf {NP} ".$\mathbf{CSL}$R E G C F L D S P A C E ( O ( n ) ) = ? N S P A C E ( O ( n ) ) P = ? N $\mathbf{=NSPACE(O(n)) = LBA}$$\mathbf{REG}$$\mathbf{CFL}$$\mathbf{DSPACE(O(n))} =^{?} \mathbf{NSPACE(O(n))}$$\mathbf{P} =^{?} \mathbf{NP}$

Bueno, ¿existe realmente una analogía así?

1. ¿Existe un idioma en $\mathbf{CSL}$ que no se haya podido demostrar que esté en $\mathbf{DSPACE(O(n))}$ (como $\mathbf{NP}$ idiomas completos)?
2. Además: ¿hay un lenguaje $L$ en $\mathbf{CSL}$ que esté "completo" en el siguiente sentido: si podemos demostrar que $L$ está en $\mathbf{DSPACE(O(n))}$ obtenemos ese $\mathbf{DSPACE(O(n)) = NSPACE(O(n))}$ ?
3. (Quizás solo sea una cuestión de opinión) ¿Ambos problemas están en el mismo nivel de dificultad?

La versión más conocida de estas preguntas es la pregunta . Si entonces un argumento de relleno (ligeramente complicado) muestra que , y entonces implica la conjetura bien conocida .L = N L D S P A C E ( n ) = N S P A C E ( n ) D S P A C E ( n ) ≠ N S P A C E ( n ) L ≠ N $\mathsf{L} \stackrel?= \mathsf{NL}$$\mathsf{L} = \mathsf{NL}$$\mathsf{DSPACE}(n) = \mathsf{NSPACE}(n)$$\mathsf{DSPACE}(n) \neq \mathsf{NSPACE}(n)$$\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$

La conjetura es considerada (por algunos) más accesible que la conjetura . No estoy seguro de que muchas personas tengan una opinión sobre la conjetura .P ≠ N P D S P A C E ( n ) ≠ N S P A C E ( n $\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{DSPACE}(n) \neq \mathsf{NSPACE}(n)$

El cuadro más grande aquí es si el teorema de Savitch , que establece que para razonable , Es ajustado. Mientras , creo que la mayoría de la gente cree que . Por otro lado, no estoy seguro de que la gente crea que es la explosión óptima; quizás un exponente más pequeño también funcione, al menos en algunos casos. Véase, por ejemplo, un artículo reciente de arXiv , La complejidad espacial parametrizada de la lógica de primer orden de la variable limitada de comprobación de modelo , por Yijia Chen, Michael Elberfeld y Moritz Müller.t ( n ) ≥ log n N P S P A C E = P S P A C E N S P A C E ( n k ) ≠ D S $\mathsf{NSPACE}(t(n)) \subseteq \mathsf{DSPACE}(t(n)^2)$$t(n) \geq \log n$$\mathsf{NPSPACE} = \mathsf{PSPACE}$t ( n ) $\mathsf{NSPACE}(n^k) \neq \mathsf{DSPACE}(n^k)$$t(n)^2$

1. Sí, hay idiomas completos CSL bajo las reducciones DSPACE (O (n)) . Básicamente, sigue siendo una variante de accesibilidad dirigida, que puede restringirse a la accesibilidad acíclica si se desea.
2. Sí, ver 1.

3. ¿Quieres decir, es la pregunta DSPACE (O (n)) = ^? NSPACE (O (n)) en el mismo nivel de dificultad que la pregunta P = ^? NP ? Bueno, tenemos buenas razones para creer que P es un subconjunto estricto de NP , pero no estoy al tanto de razones igualmente bien elaboradas para creer que DSPACE (O (n)) es un subconjunto estricto de NSPACE (O (n)) . Permítanme centrarme en la pregunta más fácil . Las caminatas aleatorias "no están mal" para explorar (con respecto a la accesibilidad) los gráficos no dirigidos asociados con SL O ( log n ) O ( log n $\mathsf{L} \stackrel?= \mathsf{NL}$. La obvia caminata aleatoria trivial análoga en un gráfico dirigido fallará gravemente al explorar un gráfico dirigido (con respecto a la accesibilidad). Pero tal vez hay otras formas aleatorias similares para explorar un gráfico dirigido (o un gráfico acíclico en capas). Basado en el teorema de Savitch, incluso adivinaría que existen tales formas, si estamos dispuestos a guardar un conjunto cambiante de posiciones dentro del gráfico dirigido durante el proceso de exploración aleatoria. Y luego el desafío sería comprender si guardar menos de posiciones no permitirá una buena exploración aleatoria.$O(\log n)$$O(\log n)$

   Incluso después de entender si debemos creer , probar que probablemente sea tan imposible como probar . Ryan Williams da una razón explícita y dice:P ≠ N $\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

   Más allá de eso, no conozco ninguna razón particular para creer que sea "difícil de probar", aparte de la observación de que muchas personas lo han intentado y ninguna ha tenido éxito todavía.

   para responder ¿Es ALogTime! = PH difícil de probar (y desconocido)? Lance Fortnow básicamente planteó la pregunta y aún no está de acuerdo. Mi propia lección fue:

   Esto significa que la declaración "ALogTime! = PH" es exactamente el lugar donde comienzan las dificultades para probar los resultados de separación. Cabe señalar que esta declaración es en realidad equivalente a "ALogTime! = NP", ya que "ALogTime = NP" implicaría "P = NP = PH".

Además de las otras respuestas, existe una noción de reducibilidad e integridad para el problema CSL frente a DCSL, es decir, la reducibilidad log-lin, y existen problemas bastante completos de CSL. Por ejemplo, el problema de desigualdad para las expresiones regulares. Aquí hay una pregunta muy similar a la suya, junto con una respuesta que proporciona más antecedentes y referencias: /cstheory/1905/completeness-and-context-sensitive-languages

$SAT$ está en . Bajo el supuesto de , entonces está estrictamente contenido en ya que podemos transformar las reducciones de tiempo polinomiales en reducciones de espacio logarítmico y se cierra bajo reducciones de espacio logarítmico. No son iguales debido al Teorema de la Jerarquía. Sin embargo, cuando entonces como resultado de aplicar el argumento de relleno. Como cuando , está estrictamente contenido en . Sin embargo, y por lo tanto$NTIME(n) \subseteq DSPACE(n)$$L = P$$NP$$DSPACE(n)$$DSPACE(n)$$L = NL$$DSPACE(n) = NSPACE(n)$$L = NL$$L = P$$NP$$NSPACE(n)$$CSL = NSPACE(n)$$CSL \neq NP$ y por lo tanto, no podría ser el caso de que algunos problema está en porque eso implicaría una contradicción con que obtuvimos después de asumir .$CSL-complete$$NP$$CSL \neq NP$$L = P$

Además, podría ver un posible intento de probar aquí:$L = P$

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01999029