Recurencia

Nota: esto es de las notas de Algoritmos de JeffE sobre Recurrencias, página 5.

(1) Entonces definimos la recurrencia$T(n) = \sqrt{n}T(\sqrt{n})+n$Sin ningún caso base. Ahora entiendo que para la mayoría de las recurrencias, dado que estamos buscando límites asintóticos, el caso base no importaría. Pero en este caso, ni siquiera veo dónde podríamos definir el caso base. ¿Hay algún número que tengamos éxito para garantizar que seguimos tomando raíces cuadradas a partir de cualquier número entero?$T(n) = a$ para $n<b$, para algunos reales $a$, $b$?

(2) En la página 7, Erickson entiende que la cantidad de capas en el árbol de recursión L satisfará$n^{{2}^{-L}} = 2$. ¿De dónde viene esto? No tengo idea. Veo que el número de hojas en el árbol debería sumar$\sqrt(n)\sqrt(n) = n$, pero no tengo idea de a dónde ir desde allí.

Cualquier ayuda es apreciada!

Notas que estoy viendo: http://jeffe.cs.illinois.edu/teaching/algorithms/notes/99-recurrences.pdf

Realmente deberías hacerte una tercera pregunta: ¿qué sucede si $n$No es un cuadrado perfecto. La respuesta a esta pregunta es que la recurrencia real debería tener$T(\lfloor \sqrt{n} \rfloor)$ o $T(\lceil \sqrt{n} \rceil)$ en vez de $T(\sqrt{n})$, aunque en el análisis solo consideraremos las entradas que son cuadrados "recursivos".

Con respecto a su primera pregunta, puede haber más de un caso base. Por ejemplo, tal vez$T(n) = 1$ para todos $n \leq 100$. Le garantizamos que eventualmente llegará a este caso base. En este caso, como en la mayoría de los casos, la forma exacta del caso base no afecta a las grandes asintóticas Theta (pero sí afecta a la constante oculta).

Finalmente, con respecto a su segunda pregunta, suponga que su caso base especifica $T(n)$ para $n \leq C$. El árbol de recursión (que es una interpretación particular de algunas características de la recurrencia) tiene la siguiente forma:

• La raíz es una instancia de tamaño $n$.
• La raíz tiene $\sqrt{n}$ niños que son instancias de tamaño $\sqrt{n}$.
• Cada nodo en la profundidad 1 tiene $\sqrt{\sqrt{n}} = n^{1/4}$ niños que son instancias de tamaño $\sqrt{\sqrt{n}} = n^{1/8}$.
• Más generalmente, un nodo en profundidad $d$ es una instancia de tamaño $n^{1/2^d}$. Puede probar esto por inducción comprobando el caso$d = 0$ (dónde $n^{1/2^d} = n$) y calculando $\sqrt{n^{1/2^d}} = n^{1/2^{d+1}}$.

La recursión termina cuando la instancia tiene un tamaño como máximo $C$, y esto sucede cuando $n^{1/2^d} \leq C$. En el momento en que esto sucede, tenemos$n^{1/2^{d-1}} > C$ (asumiendo $n > C$), y entonces $\sqrt{C} < n^{1/2^d} \leq C$. Tomando el logaritmo,$\frac{1}{2} \log C < \frac{\log n}{2^d} < \log C$ y entonces $\frac{\log n}{2^d} = \Theta(1)$, Insinuando $2^d = \Theta(\log n)$. Podemos concluir que$d \approx \log\log n$. Este es el número de capas en el árbol. Jeff usa$C = 2$, que es cómo obtiene su fórmula particular.

Respondiendo tu primera pregunta. Alternativa al uso del límite superior y el límite inferior para lograr un caso base, una opción es que podría asumir la forma de$n$.

Tomemos, por ejemplo, la fusión recursiva:

$$T(n) = 2c \cdot T\left( \frac{n}{2} \right) + c \cdot n$$

Claramente, la mayoría $n$no se dividirá equitativamente en enteros. Entonces es bastante común suponer que$n$ es de la forma:

$$n = 2^k \quad\quad k \in \mathbb{N}$$

Esto implica cada $n$ es un poder positivo de $2$, resolviendo así nuestro caso base siempre $1$. Alternativamente, podríamos hacer el caso base$c$ en vez de $1$ asumiendo $n$ es de la forma:

$$n = c \cdot 2^k \quad\quad k \in \mathbb{N}, c \in \mathbb{N}^+$$

Podemos aplicar esto a nuestra recurrencia:

$$T(n) = \sqrt{n} \cdot T\left(\sqrt{n}\right) + n$$

Asumir $n$ es de la forma:

$$n = c^{2^k} \quad \quad k \in \mathbb{N}, c \in \mathbb{N}^+$$ Entonces el caso base siempre se resolverá a una constante $c$.

Ahora, si puede probarlo bajo esta suposición, podría pasar a hacer una prueba de $n$valores que no tienen este formulario. Un enfoque sería intentar vincularlo con el siguiente más alto (o más bajo)$n$que lo hace tener esa forma.