Máquinas de acceso aleatorio con solo suma, multiplicación, igualdad

La literatura es bastante clara que las RAM de costo unitario con multiplicación primitiva no son razonables, ya que

no puede ser simulado por máquinas de Turing en tiempo polinómico
puede resolver problemas completos de PSPACE en tiempo polinómico

Sin embargo, todas las referencias que puedo encontrar sobre este tema (Simon 1974, Schonhage 1979) también involucran operaciones booleanas, división de enteros, etc.

¿Existen resultados para la "razonabilidad" de las RAM que solo tienen suma, multiplicación e igualdad? En otras palabras, ¿cuáles no tienen operaciones booleanas, división entera truncada, resta truncada, etc.?

Uno podría pensar que tales RAM son todavía bastante "irrazonables". La principal señal de alerta es que permiten la generación de enteros exponencialmente grandes en tiempo lineal, y debido a los efectos de multiplicación de convolución, esto puede volverse particularmente complejo. Sin embargo, en realidad no puedo encontrar ningún resultado que muestre que esto permita ningún tipo de resultado "irrazonable" (aceleración exponencial de la máquina Turing, relación irrazonable con PSPACE, etc.).

¿La literatura tiene algún resultado sobre este tema?

— Mike Battaglia
fuente

Yuval Filmus tiene una breve nota que resume cómo resolver cualquier problema en NP (¿y creo que hay algún problema en PSPACE?) En tiempo polinómico, utilizando RAM de costo unitario. Tal vez publicará un enlace a eso y puede revisar los métodos allí para ver si pueden generalizarse para eliminar la necesidad de división.

— DW

¿Se te ocurre una manera de calcular el número , donde es una pequeña constante, en tu modelo, usando el tiempo polinomial en ? En otras palabras, queremos calcular . Esto se puede hacer en el tiempo polinomio en y si permitimos que la división, sino que puede hacerse sin división? Si puede, sospecho que resultados similares se aplicarán también a su modelo.

\sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} 2^{c i}

$\sum_{i=0}^{2^n-1} 2^{ci}$

c

$c$

n, c

$n,c$

(2^{c 2^{n}} - 1) / (2^{c} - 1)

$(2^{c 2^n}-1)/(2^c-1)$

n

$n$

c

$c$

— DW

¿Sabes dónde está esta nota? He visto que la literatura sobre RAM de costo unitario es irrazonablemente poderosa cuando las operaciones booleanas están permitidas, y la división truncada (o cambio), con las operaciones booleanas y los truncamientos que básicamente convierten todo en un enorme dispositivo paralelo. Pero, debería haber algún resultado en alguna parte que demuestre que incluso la multiplicación de costo unitario es "irrazonable" sin las otras cosas, porque como se mencionó, puede calcular rápidamente números con más dígitos de los que están contenidos en el universo observable. Pero, no puedo encontrar una prueba de esto.

— Mike Battaglia

@DW Mi nota muestra cómo resolver todos los problemas en PSPACE en tiempo polinómico. Desafortunadamente, necesita usar operadores bit a bit (bit a bit AND y OR; los dos son equivalentes). En ese momento, pensé brevemente en la pregunta que estás haciendo, pero no llegué a ninguna conclusión. Puede encontrar todo esto aquí , aunque parece que ya lo sabe.

— Yuval Filmus

P \in PSPACE

$\text{P} \in \text{PSPACE}$

El otro día estaba leyendo un documento sobre máquinas de acceso aleatorio en paralelo sin operaciones de bits, que se parecía mucho a lo que está describiendo. Para estos modelos, se sabe que NC no es igual a P. Ver aquí: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0097539794282930

El documento también se puede encontrar en el sitio web del profesor Mulmuley.

— exfret
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