¿Cómo entender la reducción del problema de 3 colores al problema general de colores ?

El problema de 3 colores puede probarse NP-Complete haciendo uso de la reducción de 3SAT Graph Coloring (de 3SAT) . Como consecuencia, el problema de 4 colores es NP-Completo usando la reducción de 3 colores:

Reducción de la instancia de 3 colores: agregando un vértice adicional al gráfico del problema de 3 colores y haciéndolo adyacente a todos los vértices originales.

Siguiendo el mismo razonamiento, 5-Coloring, 6-Coloring e incluso el problema general de -Coloring se pueden probar NP-Complete fácilmente. Sin embargo, mi problema surge con la inducción matemática subyacente:$k$

Mi problema: ¿Qué sucede si la inducción continúa con el problema -Coloring y -Coloring, donde es el número de vértices en el gráfico? Ciertamente sé que el problema de -Coloring se puede resolver trivialmente. Entonces, ¿hay algo mal con el razonamiento? ¿Cómo entender la reducción del problema 3-Coloring al problema general -Coloring?$n-1$$n$$n$$n$$k$

los $k$problema de color generalmente se define solo para constante $k$, entonces $n$-colorear no tiene sentido. Por cada constante$k \geq 3$, la reducción que mencionas funciona. Al agregar un número superconstante de vértices puede mostrar, por ejemplo, que$(n/2+3)$El color es NP-completo.

Su aparente contradicción proviene de abusar de la notación "$n$": su significado cambia a medida que avanza la pregunta.

Cuando dices eso $n$-la coloración es trivial, lo que realmente quieres decir es que es trivial colorear cualquier gráfico $G$ con $|V(G)|$colores. Pero el$n$problema de coloración para cualquier constante $n$ es el problema de determinar si un gráfico de entrada arbitrario, con cualquier número de vértices, tiene un valor apropiado $n$-colorante.

La cadena de reducciones de $3$-colorabilidad a $n$-la coloración agrega $n-3$vértices a la gráfica. Esto significa que la única forma en que podría terminar con una instancia trivial de la$n$problema de colourability es si su entrada original a la $3$problema de coloración tenía $3$ o menos vértices: tal instancia ya era trivial $3$-de colores.

Por cierto, no hay necesidad de usar inducción para demostrar que $k$-la coloración es NP -completa para cada $k\geq 3$porque es fácil componer la secuencia de reducciones que aparecería en la inducción. Un gráfico $G$ es $3$-coloreable si, y solo si, el gráfico $G'$ es $k$-colourable, donde $G'$ es la unión disjunta de $G$ y una copia de $K_{k-3}$, más todos los bordes posibles entre las dos partes.

los $k$El problema del color es colorear cualquier gráfico. Ciertamente puede encontrar gráficos para los cuales$k$-la coloración es trivial, así como las fórmulas para las cuales SAT es trivial, etc. Sin embargo, esto no afecta la complejidad de los problemas en general.