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¿Es posible que y la cardinalidad de sea ​​la misma que la cardinalidad de ? ¿O significa que y deben tener diferentes cardinalidades?PNPPNPPNPPNP


Aparentemente hay un sentido en el que los lenguajes más complejos son más numerosos que los menos complejos, pero parece que no se estudia mucho. en cambio, hay, por ejemplo, los teoremas de la jerarquía de espacio y tiempo ...
vzn

Respuestas:


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Se sabe que P NP R, donde R es el conjunto de lenguajes recursivos. Como R es contable y P es infinito (por ejemplo, los idiomas { n } para n N están en P), obtenemos que P y NP son contables.{n}nN


¿Cómo se define R?
saadtaame

Es el conjunto de todos los lenguajes aceptados por los programas C.
Yuval Filmus

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Permítanme primero corregir la definición: es el conjunto de todos los lenguajes aceptados por los programas C que siempre se detienen . No necesitamos una definición más formal ya que los programas C son cadenas sobre un alfabeto finito, y solo hay muchos de estos. La teoría de la recursión se basa en esta idea, que los programas se pueden especificar finitamente (como números) y, por lo tanto, se pueden alimentar como entrada a otros programas. R
Yuval Filmus

1
Un producto contable de conjuntos contables solo es contable si todos, pero finitamente, muchos de ellos son singletons, o si al menos uno de ellos está vacío. Le sugiero que haga más preguntas sobre la cardinalidad en math.stackexchange, donde pertenecen.
Yuval Filmus

1
@ernab Un subconjunto de un subconjunto contable es finito o contable.
Yuval Filmus

1

Si le preocupa el tamaño de dos conjuntos P y NP, el tamaño de ambos conjuntos es infinito e igual.

Si estos dos conjuntos son iguales, entonces su tamaño también es igual. Si no son iguales, dado que son contables, entonces su cardinalidad es igual a la cardinalidad de los números naturales e igual.

Entonces, en cualquier caso, su cardinalidad es igual.


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Cantor ideó una forma de comparar las magnitudes de conjuntos infinitos ya en el siglo XIX.
Yuval Filmus

Entonces, ¿la cardinalidad de los números naturales es mayor que la cardinalidad de los números naturales pares?
orezvani

1
No, tienen la misma cardinalidad. Puede consultar cualquier libro sobre teoría de conjuntos (o Wikipedia) para obtener las definiciones requeridas. Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si hay una biyección entre ellos. Un conjunto se dice que tiene a lo sumo la cardinalidad de B si hay una inyección de A a B . Suponiendo el axioma de elección, por cada dos conjuntos A y B , A tiene como máximo la cardinalidad de B o viceversa. Decimos que A tiene una cardinalidad menor que B si tiene como máximo la cardinalidad de BABABABABABBpero no la misma cardinalidad que . B
Yuval Filmus

P y NP son contables, por lo que cada elemento se ha mapeado a un número natural, ¿es así?
orezvani

Correcto, P y NP tienen la misma cardinalidad que el conjunto de números naturales.
Yuval Filmus

0

Principalmente trabajo en matemáticas y solo estoy un poco familiarizado con este tipo de problema. Sin embargo, la teoría de conjuntos es una de mis áreas de estudio favoritas, y esta parece ser una pregunta de teoría de conjuntos.

Entonces, para comenzar, tanto P como NP son infinitamente contables como otros han señalado antes. Por lo tanto, no tiene sentido discutir más la cardinalidad de P y NP.

Sin embargo, en general:

La desigualdad de conjunto no le informa a uno sobre el tamaño de un conjunto. Tomemos, por ejemplo, y B = { 4 , 5 , 6 } . A B , pero | A | = | B | . Considere también, C = { 1 , 2 , 3 } y D = { 4 , 5 } . C A={1,2,3}B={4,5,6}AB|A|=|B|C={1,2,3}D={4,5} y | C | | D | .CD|C||D|

Sin embargo, por definición, la igualdad establecida nos informa sobre la cardinalidad. Si , entonces | A | = | B | . Considere el caso de A = { 1 , 2 , 3 } y B = { 1 , 2 , 3 } . A = B y | A | = | B | .A=B|A|=|B|A={1,2,3}B={1,2,3}A=B|A|=|B|

Si dos conjuntos son infinitamente contables, entonces comparten la misma cardinalidad. P y NP son ambos infinitamente contables, de modo que eso lo resume todo.


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Re "tanto P como NP son infinitamente contables como otros han señalado antes. Entonces, tiene sentido discutir la cardinalidad de P y NP": No estoy de acuerdo. Como ambos son infinitamente contables, no hay nada más que decir sobre su cardinalidad.

@DavidEppstein, al pensar, tienes razón. Editaré mi respuesta para arreglar eso. Sin embargo, dejaré una discusión sobre la cardinalidad en general (mencionando la cardinalidad de conjuntos infinitamente contables).

El detalle relevante que se está perdiendo aquí, en términos del ejemplo, con y B es que P N P . ABPNP
jmite
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