NP-dureza de encontrar un subconjunto de vértices en un gráfico ponderado de vértice

Esta es una tarea del concurso de TI alemán ("Bundeswettbewerb Informatik"), pero dado que la fecha límite ha pasado, hacer esta pregunta no es trampa.

Dado un gráfico dirigido ponderado por vértices y valores , encuentre un subconjunto de nodos que maximice sujeto a ¿Es este problema NP-hard? $G=(V, E)$ $c_v$ $V_{res}\subseteq V$

\sum_{v \in V_{r e s}} c_{v}

$\sum_{v \in V_{res}} c_v$

\forall (u, v) \in E : u \in V_{r e s} ⟹ v \in V_{r e s}

$\forall (u,v) \in E: u \in V_{res} \implies v \in V_{res}$

Podría demostrar que el problema está en P si cada nodo no tiene padres o hijos mostrando que en este caso, Vertex Cover puede resolverlo en gráficos bipartitos, pero no pude encontrar una reducción que pruebe la dureza NP del problema original

¿Alguien puede darme una pista de cómo hacer esto?

PD: En el concurso, la tarea era solo encontrar un algoritmo que resuelva este problema, la definición original (alemana) es la tarea 1 de este documento: http://www.bundeswettbewerb-informatik.de/fileadmin/templates/bwinf/ aufgaben / bwinf35 / aufgaben352.pdf

complexity-theory reductions np-hard

— Feanor
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Sin pérdida de generalidad, puede centrarse en el caso de un dag (gráfico acíclico dirigido). En un gráfico dirigido general, descomponer en componentes fuertemente conectados; entonces tomará todos los nodos en un componente o ninguno de ellos; para que pueda formar el meta-gráfico (con un vértice por componente) y resolver el problema en el meta-gráfico.

— DW

@DW, supongo que tiene la intención de ordenar topológicamente el DAG, pero no me queda claro cuál será exactamente su próximo paso. ¿Para cada vértice en el meta-gráfico sumar el peso de todos sus descendientes?

— Eric_

@Eric_, por desgracia, no tengo un próximo paso en mente. Solo digo que si puede encontrar un algoritmo para resolver esto para un DAG arbitrario, puede usarlo para resolverlo en un gráfico dirigido arbitrario. Tal vez eso le dé a alguien algunas ideas sobre cómo abordar el problema, o tal vez no. No sé cómo resolverlo yo mismo, me temo.

— DW

El problema es solucionable en tiempo polinómico, sugerido en el Lema 1 del artículo Complejidad computacional de algunos problemas de peso promedio máximo con restricciones de precedencia .

Básicamente, la idea es escribir un programa lineal en las variables , donde si . La matriz de adyacencia firmada es totalmente unimodular, por lo que podemos calcular el óptimo integral. $x_i\in[0,1]$ $x_u-x_v\leq 0$ $(u,v)\in E$

— Willard Zhan
fuente