¿Qué tiene de malo esta prueba condicional de P = NP?

Recientemente he pensado la siguiente prueba de que L = P implica P = NP.

Supongamos que L = P. Deje que A sea un problema en NP. Según la definición del verificador de NP, cada solución positiva a A tiene un testigo que puede verificarse en tiempo polinómico. Como P = L, la misma solución se puede verificar en el espacio logarítmico. Así NP = NL. Pero entonces NL está contenido en P, lo que significa que NP está contenido en P y, por lo tanto, P = NP.

Según la hipótesis del mercado eficiente, sospecho que esta prueba es errónea. Sin embargo, no puedo determinar la naturaleza exacta del error. ¿Alguien puede señalarlo?

Supongamos que L = P. Deje que A sea un problema en NP. Según la definición del verificador de NP, cada solución positiva a A tiene un testigo que puede verificarse en tiempo polinómico. Como P = L, la misma solución se puede verificar en el espacio logarítmico. Así NP = NL.

No has demostrado que NP$\,=\,$NL . El único método que has derivado para mostrar que$x\in A$, es no adivinar "adivinar" un testigo $y$y use el algoritmo determinista de espacio de registro para verificarlo. Sin embargo,$y$en sí mismo puede ser polinómicamente largo, mientras que su máquina NL solo puede adivinar logarítmicamente muchos bits: su máquina NL no tiene suficiente espacio para almacenar el testigo, por lo que no tiene un algoritmo NL .

Además, nota que ya sabemos que los testigos de NP problemas -Complete puede ser verificada en una clase de complejidad menor que  L . El teorema de Fagin dice que NP es exactamente el conjunto de problemas que se pueden definir en el fragmento existencial de la lógica de segundo orden. Esto es equivalente a decir que puede verificar un testigo de longitud polinómica usando lógica de primer orden. FO es estrictamente más débil que L , ya que la lógica de primer orden no puede resolver problemas simples de espacio de registro como decirle si su cadena testigo contiene un número par de $1$s.