La capacidad de coloración del gráfico 3 es auto reducible

Estoy interesado en la auto-reducibilidad del problema Graph 3-Coloralibity.

Definición del problema del gráfico 3-Coloralibity.

Dado un gráfico no dirigido, ¿existe alguna forma de colorear los nodos de rojo, verde y azul para que ningún nodo adyacente tenga el mismo color? $G$

Definición de auto-reducibilidad.

Un lenguaje es auto-reducible si existe una máquina Turing de oráculo TM tal que y para cualquier entrada de longitud , consulta al oráculo para palabras de longitud como máximo . $L$ $T$ $L=L(T^L)$ $x$ $n$ $T^L(x)$ $n-1$

Me gustaría mostrar de una manera muy estricta y formal que la capacidad de coloración del Gráfico 3 es auto reducible.

La prueba de auto-reducibilidad de SAT puede usarse como ejemplo ( auto-reducibilidad de SAT ).

En mi opinión, la idea general de la prueba de auto-reducibilidad de la coloración del gráfico 3 es diferente de la prueba de auto-reducibilidad SAT en algunos aspectos.

SAT tiene dos opciones para cada literal (verdadero o falso) y la capacidad de coloración del gráfico 3 tiene tres opciones (a saber, rojo, verde, azul).
Las opciones de SAT literal son independientes entre sí y las opciones de colores de la coloración del Gráfico 3 son estrictamente dependientes, cualquier nodo adyacente debe tener un color diferente, esta propiedad podría ayudar a hacer menos iteración entre todos los colores.

La idea general de la prueba .

Denotemos por el color del vértice , que puede tomar uno de los siguientes valores (rojo, verde, azul). Defina el gráfico partir de un gráfico dado coloreando el vértice arbitrario , asigne a' rojo 'y coloque el gráfico con el vértice coloreado en la entrada del oráculo. Si Oracle responde 1, lo que significa que el gráfico modificado sigue siendo de 3 colores, guarde las asignaciones actuales y comience una nueva iteración, con el vértice diferente elegido arbitrariamente, vértice de color $c_{v_i}$ $v_i$ $G'$ $G$ $v_0$ $c_{v_0}$ $G'$ $v_0$ $v_1$ $v_1$ según los colores de los vértices adyacentes. Si Oracle responde 0, lo que significa que la asignación anterior ha roto la capacidad de coloración 3, elija un color diferente del conjunto de tres colores, pero aún de acuerdo con los colores de los vértices adyacentes.

La prueba anterior no es matemáticamente robusta, la pregunta es cómo mejorarla y hacerla más formal y matemática estricta. Parece que necesito distinguir más cuidadosamente los casos en que el nuevo vértice no tiene bordes con vértices ya coloreados y cuando el nuevo vértice es adyacente a vértices ya coloreados.

Además, me gustaría demostrar que la capacidad de coloración del gráfico 3 es auto-reducible hacia abajo.

Definición de lenguaje auto-reducible hacia abajo.

dice que el lenguaje es auto-reducible hacia abajo si es posible determinar en tiempo polinómico si usando los resultados de las consultas más cortas. $A$ $x \in A$

La idea parece ser simple e intuitiva: comience coloreando un vértice arbitrario, y en cada iteración agregue un vértice coloreado más y verifique con un oráculo si el gráfico aún tiene 3 colores, si no invierte el color anterior y verifique otro color.

Pero cómo escribir la prueba de forma estricta y más importante cómo encontrar una codificación adecuada de un gráfico.

En resumen, me gustaría mostrar que la capacidad de coloración del Gráfico 3 es auto-reducible y auto-reducible hacia abajo de manera estricta y formal.

Apreciaré compartir tus pensamientos con nosotros.

Actualizar:

auto-reducibilidad hacia abajo

La auto-reducibilidad hacia abajo se aplica al problema de decisión y su oráculo responde al mismo problema de decisión con una entrada más corta, al final del proceso de auto-reducción hacia abajo deberíamos tener las asignaciones de color correctas.

Cada gráfico de 3 colores con más de tres vértices tiene dos vértices con el mismo color. Aparentemente, solo hay tres colores y más de tres vértices, por lo que algunos vértices no adyacentes pueden tener el mismo color. Si fusionamos e con el mismo color que el resultado, todavía tenemos un gráfico de 3 colores, solo porque, si el gráfico es de 3 colores, entonces existe una asignación correcta de todos los vértices adyacentes a e acuerdo con el mismo color de , así que al fusionar $G$ $x,y$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x, y$ $x, y$ no necesitamos cambiar ningún color de ningún vértice, solo necesitamos agregar más bordes entre los vértices ya coloreados correctamente (sé que no es la mejor explicación, agradecería si alguien pudiera explicarlo mejor). En cada iteración tomamos dos vértices no adyacentes del gráfico , fusionamos e y obtenemos el gráfico que es nuestra entrada más corta al oráculo. Oracle responde si es de 3 colores o no. Ahora, el problema es que antes de configurar en la entrada de Oracle debería colorear el vértice fusionado y probar la capacidad de coloración de , si no es de 3 colores, cambie el color, pero cómo implementarlo correctamente, necesito la codificación correcta. $x,y$ $G$ $x$ $y$ $G'$ $G'$ $G'$

auto-reducibilidad

Primero, debemos verificar si un gráfico dado es de 3 colores, así que configúrelo en la entrada de Oracle, y Oracle responderá si es de 3 colores, si es así, comience el proceso. Cualquiera de los dos vértices no adyacentes puede tener el mismo color en un gráfico de 3 colores. El proceso de auto-reducibilidad que debemos ejecutar en iteraciones, creo que podemos comenzar desde el pequeño subgrafo de un gráfico dado y en cada iteración agregar uno más vértices de a . En paralelo, debemos mantener la asignación de vértices ya coloreados. Desafortunadamente, todavía no entiendo la idea por completo. Agradecería por ayuda y sugerencias. $G$ $G'$ $G$ $G$ $G'$

complexity-theory reductions

— com
fuente

solo una nota: creo que en la auto-reducción deberías usar la versión "desnuda" del problema de decisión: la entrada del problema de decisión es un gráfico y no un gráfico con algunos nodos coloreados. Por lo tanto, debe modificar el gráfico original para simular una coloración forzada de algunos nodos (y tratar de acortar la instancia). En SAT esto es más fácil porque solo establece el valor de una variable y simplifica las cláusulas.

— Vor

¿Cuál es la diferencia entre auto-reducibilidad y auto-reducibilidad hacia abajo?

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus, el conjunto es auto-reducible hacia abajo si existe una reducción Cook de para sí mismo que realiza consultas cada una más corta que la entrada de la reducción (en la entrada la reducción hace que la consulta luego )

S

$S$

S

$S$

x

$x$

q

$q$

| q | < | x |

$|q| < |x|$

— com

Mientras que un conjunto es auto-reducible si ...?

— Yuval Filmus

El problema de búsqueda de cualquier relación se llama auto-reducible si puede reducirse al problema de decisión de .

R

$R$

S_{R}

$S_R$

— com

Respuestas:

Como Vor menciona en su comentario, su reducción no funciona, ya que la capacidad de 3 colores no acepta asignaciones parciales de colores. El problema es aún más profundo, ya que establecer el color de un solo vértice no hace ningún progreso para determinar si el gráfico es de 3 colores: de hecho, el gráfico es de 3 colores si hay un color 3 en el que el vértice es color asignado , para cualquier que elija. $v$ $c$ $v,c$

Aquí hay una pista sobre cómo resolver su ejercicio, segunda parte. En cualquier coloración 3 de un gráfico en más de tres vértices, hay dos vértices obteniendo el mismo color (¿por qué?). Si fusionamos e , el gráfico resultante sigue siendo de 3 colores (¿por qué?). Intente utilizar esta idea para construir un algoritmo de reducción automática descendente para la capacidad de 3 coloraciones. $G$ $x,y$ $x$ $y$

Editar: Y aquí hay una pista sobre cómo resolver el ejercicio, primera parte. Considere dos vértices no conectados . Si hay un color en el que obtienen el mismo color, entonces es de 3 colores (¿por qué?), Y se puede extraer un color de de un color de (¿cómo?). ¿Cuándo se detendrá este proceso? $x,y$ $G_{xy}$ $G$ $G_{xy}$

— Yuval Filmus
fuente

Puntos extra si puede encontrar una reducción que llame al oráculo

O (1)

$O(1)$ veces.

— Yuval Filmus

Muchas gracias por la pista, en lugar de una coloración parcial, podemos usar un gráfico auxiliar

G^{'}

$G'$ y extenderlo en consecuencia a

G

$G$ . Grafico

G

$G$ con más de tres vértices tienen dos vértices

x, y

$x, y$ con el mismo color, solo porque Oracle respondió que es de 3 colores (pero los vértices son más de tres), por lo que debería haber vértices con el mismo color. Pero no entiendo por qué el gráfico sigue siendo de 3 colores cuando fusionamos dos vértices con el mismo color. Por otro lado, ¿por qué necesitamos agregar bordes entre vértices ya coloreados?

— com

Según número de llamadas. En general, podemos asignar el mismo color a todos los vértices no adyacentes, por lo tanto, en este caso no tenemos que pedirle al oráculo en cada tarea (por otro lado, hay tres colores, y es crucial tomar la tarea correcta. Asignación aparentemente correcta en

G^{'}

$G'$ , puede volverse falso en

G

$G$ )

— com

Supongamos que un gráfico

G

$G$ tiene 3 colores

c

$c$ tal que

c (x) = c (y)

$c(x) = c(y)$ . Ahora considera el gráfico

G_{x y}

$G_{xy}$ obtenido mediante la fusión

x

$x$ y

y

$y$ . ¿Puedes encontrar 3 colores para

G_{x y}

$G_{xy}$ ? ¿Qué tal lo contrario?

— Yuval Filmus

Ahora que entiendo la diferencia entre la auto-reducibilidad y la auto-reducibilidad descendente, noto que mi sugerencia solo tiene sentido para lo último. Se agregó una pista diferente para el primero. Quizás eso ayude.

— Yuval Filmus

Tal vez así. Podemos agregar dos vértices conectados l1 y l2. Primero, los conectamos con cualquier vértice v *. Tenga en cuenta que este comportamiento significa que, por fin, simplemente bloqueamos algunos vértices de color, incluido v *.

Luego ejecutamos la versión de decisión de la 3-colorabilidad, si el algoritmo de decisión acepta, entonces agregamos este vértice en s_1. repetimos este paso con cada vértice (conecte l1 y l2 con otro vértice), encontraremos que, por fin, se encuentran todos los vértices con el mismo color (denotado por rojo), y estos vértices con color rojo denotan por s_1.

Si hay algún problema, indíquelo.

A continuación, al igual que lo que hacemos arriba, agregue otros dos vértices conectados (l3 l4). Primero, los conectamos con cualquier vértice, excepto los de s_1, ejecute el algoritmo de decisión. Luego otro.....

— YK X
fuente