¿Es un lenguaje unario regular si su exponente es una función lineal?

13

Mientras realizaba la tarea actual para mis cursos formales de idiomas y autómatas, me quedé atascado en ejercicios que involucran idiomas unarios (espero que sea el término correcto), es decir, idiomas que se basan en una sola letra. Sin embargo, no quiero preguntar sobre los ejercicios específicos, sino sobre una conjetura mucho más general que se me ocurre:

Deje y . Mi conjetura es: $\Sigma=\{a\}$ $L=\{a^{f(n)}\in\Sigma^*:n\in\mathbb N_0\}$

L is regular \Leftrightarrow \exists x, y \in N_{0} : f (n) = x \cdot n + y

$L\text{ is regular}\Leftrightarrow \exists x,y\in\mathbb N_0:f(n)=x\cdot n+y$

¿Esta pregunta ha visto algún tratamiento científico antes? ¿Es "obviamente" verdadero / falso?

$\Leftarrow$ $x+y$ $x$ $y$ $y$

formal-languages regular-languages

— SEJPM
fuente

¡Buen trabajo, hacer esta observación no es nada que esperaría de los estudiantes promedio!

— Raphael

Convenido. Esta es una muy buena observación.

— Rick Decker

No es obvio por el título, pero hemos tenido esta pregunta antes, hasta un pequeño lema de equivalencia: ¿Cuáles son los posibles conjuntos de longitudes de palabras en un idioma normal?

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

9

Lineal está cerca, pero el término técnico que está buscando es semilineal: es decir, una unión finita de conjuntos lineales.

La mitad de la prueba de esto es un corolario del Teorema de Parikh , que dice que cualquier lenguaje sin contexto tiene un mapa Parikh semi-lineal (es decir, el conjunto de vectores que contienen las ocurrencias de cada letra en el alfabeto).

Para un idioma unario, el mapa parikh del idioma es el idioma en sí (es decir, cada palabra se identifica de forma única por la cantidad de letras que tiene), por lo que cada idioma regular unario es semi-lineal.

La otra mitad de la prueba muestra que puede construir un lenguaje regular que contenga cada conjunto semi-lineal unario. Esto requiere un poco de trabajo, pero no es demasiado difícil si usa expresiones regulares:

$a^k$ $\{ k \}$
$(a^k)^*$ $\{xk \mid x \in \mathbb{N}_0 \}$
$R_1 R_2$ $S_1 + S_2$ $R_1$ $S_1$ $R_2$ $S_2$ $+$
$R_1 | R_2$ $S_1 \cup S_2$ $R_1$ $S_1$ $R_2$ $S_2$ $|$

— jmite
fuente

6

L = {{un}^{k} ∣ k = 3 norte + 1 o k = 7 7 norte + 4 4}

$L=\{a^k\mid k=3n+1\text{ or }k=7n+4\}$

L = {{un}^{k} ∣ k = 4 4 norte + 2 o k = 13}

$L=\{a^k\mid k=4n+2\text{ or }k=13\}$

— Rick Decker
fuente