¿Conjetura de Goldbach y números de Beaver ocupado?

Antecedentes: soy un laico completo en informática.

Estaba leyendo sobre los números de Busy Beaver aquí , y encontré el siguiente pasaje:

Es posible que la humanidad nunca sepa el valor de BB (6) con certeza, y mucho menos el de BB (7) o cualquier número más alto en la secuencia.

De hecho, los principales contendientes de las cinco y seis reglas nos eluden: no podemos explicar cómo 'trabajan' en términos humanos. Si la creatividad imbuye su diseño, no es porque los humanos lo pongan allí. Una forma de entender esto es que incluso las máquinas Turing pequeñas pueden codificar problemas matemáticos profundos. Tome la conjetura de Goldbach, que cada número par 4 o superior es una suma de dos números primos: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5. La conjetura ha resistido la prueba desde 1742. Sin embargo, podríamos diseñar una máquina de Turing con, digamos, 100 reglas, que pruebe cada número par para ver si es una suma de dos números primos, y se detiene cuando y si encuentra un contraejemplo para el conjetura. Luego, conociendo BB (100), en principio podríamos ejecutar esta máquina para los pasos de BB (100), decidir si se detiene y, por lo tanto, resolver la conjetura de Goldbach.

Aaronson, Scott. "¿Quién puede nombrar el número más grande?" ¿Quién puede nombrar el número más grande? Np, nd Web. 25 de noviembre de 2016.

Me parece que el autor sugiere que podemos probar o refutar la Conjetura de Goldbach, una declaración sobre infinitos números, en un número finito de cálculos. ¿Me estoy perdiendo algo?

La afirmación es sobre infinitos números, pero su demostración (o refutación) tendría que ser un ejercicio finito. Si es posible.

La sorpresa puede venir de la suposición (falsa) de que encontrar BB (100) sería un problema "teóricamente más fácil", solo imposible por razones prácticas, ya que hay tantas máquinas y pueden funcionar durante mucho tiempo antes de detenerse , en todo caso, después de todo, son solo máquinas ...

La verdad es que descubrir BB (n), por n lo suficientemente grande, tiene que ser una tarea insuperable, tanto por razones teóricas como prácticas.

La idea del autor era que puedes escribir un programa en 100 líneas (cualquier número finito fijo aquí) que hace lo siguiente: toma el número x, prueba la conjetura. Si no es cierto, deténgase y continúe con el siguiente número.

Conociendo el número de castores ocupados, puede simular esta máquina para ese número de pasos y luego decidir si se detiene o no. Desde arriba, si se detiene, la conjetura no es verdadera, si no se detiene, la conjetura es verdadera.

Aaronson se ha expandido recientemente en detalle sobre esta reflexión / idea aquí trabajando con Yedidia. [1] encuentran una máquina explícita de 4888 estados para la conjetura de Goldbach. Puedes leer el periódico para ver cómo se construyó. Los TM rara vez se construyen, pero los que han sido tienden a ser como un compilador basado en lenguajes de alto nivel y los compiladores agregan muchos estados. un TM "hecho a mano" podría usar fácilmente una cantidad de estados de orden de magnitud menos, por ejemplo, en los 100 o menos de 100. en otras palabras, en este documento no hubo realmente un intento de tratar de minimizar realmente el número de estados . la idea general es sólida y los informáticos generalmente no están tan preocupados por las constantes exactas del trabajo aplicado.

Los Caludes (también citados por [1]) esbozan esta teoría general en dos documentos excelentes que exponen algunos de los teoremas del folklore largo en esta área y que otros autores (por ejemplo, Michel) han señalado. [2] [ 3] básicamente cualquier problema matemático abierto puede convertirse en problemas indecidibles. Esto se debe a que la mayoría de los problemas matemáticos implican la búsqueda de un número infinito de casos para contraejemplos y los contraejemplos son verificables algorítmicamente (pero tal vez de manera ineficiente o requieran TM grandes, etc.).

también, los TM "muy pequeños" (contados en # de estados) pueden verificar / ser equivalentes a problemas matemáticos muy complejos. por ejemplo, una estimación aproximada de una TM para resolver la conjetura de collatz sería unas pocas docenas de estados.

Por lo tanto, existe una conexión / analogía interesante entre la indecidibilidad y la integridad de NP. NP es la clase de problemas verificables de manera eficiente, es decir, las instancias se pueden verificar en tiempo P. Los problemas indecidibles son la clase de todos los problemas que permiten la comprobación algorítmica de contraejemplos sin límite de eficiencia.

Aquí hay una forma básica de comprender la conexión con el problema del castor ocupado. Todos los problemas indecidibles son equivalentes debido a la computabilidad / equivalencia de Turing. Al igual que todos los problemas completos de NP pueden convertirse entre sí en tiempo P (reducciones), todos los problemas indecidibles son equivalentes debido a la integridad de Turing y las reducciones computables (que pueden tomar un tiempo arbitrario). por lo tanto, el problema del castor ocupado es en este sentido equivalente al problema de detención, y si uno pudiera resolver el castor ocupado, entonces podría resolver todas las preguntas matemáticas abiertas.

[1] Una TM relativamente pequeña cuyo comportamiento es independiente de la teoría de conjuntos / Yedidia, Aaronson

[2] Evaluación de la complejidad de los problemas matemáticos: Parte 1 / Calude

[3] Evaluación de la complejidad de los problemas matemáticos: Parte 2 / Calude

1. La conjetura de Goldbach puede ser falsificada (si es realmente falsa) por dicho programa de TM; no se puede demostrar que sea correcto de esta manera (un matemático perspicaz, sin embargo, podría hacer esto).

2. Conocer BB (27) permitiría detener la búsqueda de Goldbach en algún momento; sin embargo, BB (27) (o Chaitin's Omega (27)) requerirán previamente saber si Goldbach TM finalmente se detiene o no.

Por lo tanto, es engañoso decir "BB (27) incluye la respuesta a Goldbach". Aunque lo hace, más al punto es: "Goldbach (y muchos otros) son requisitos previos para el número BB (27)", en otras palabras, no existe una "función BB" que desafíes a los 27 años. simplemente ejecute todas las máquinas de 27 estados, inkl. Goldbach, y solo después del hecho ver BB (27). Y, desde un punto de vista práctico, incluso BB (6) parece esquivo.

Creo que se siente menos misterioso si reformulamos el punto de Aaronson en términos de pruebas:

Podemos nombrar una constante para que, si hubiera alguna prueba de Goldbach, fuera como mucho con caracteres dePor lo tanto, si supiéramos , podríamos probar o refutar la conjetura enumerando todas las cadenas de longitud como máximo y verificando si alguna de ellas es una prueba válida.C C $C$$C$$C$$C$

Es algo mágico que uno pueda nombrar sin saber si Goldbach es verdadero o no (aunque en la práctica es demasiado grande). Siento que la forma más fácil de ver esto es a través de Turing Machines. La TM que enumera y verifica todos los contraejemplos posibles de Goldbach tiene una longitud de descripción finita , por lo que si se detiene, lo hace en menos de pasos. Una transcripción de este cálculo sería una prueba válida y tomaría solo caracteres .C n B B ( n ) C = O ( B B ( n ) $C$$C$$n$$BB(n)$$C = O(BB(n))$