¿Por qué A implica que B es verdadero si A es falso y B es falso?

Me parece que 'implica' en el idioma inglés no significa lo mismo que el operador lógico 'implica', de manera similar a cómo la palabra 'OR' en la mayoría de los casos significa 'OR exclusivo' en nuestro uso cotidiano del idioma.

Tomemos dos ejemplos:

Si hoy es lunes, mañana es martes.

Esto es cierto .

Pero si decimos:

Si el sol es verde, entonces la hierba es verde.

Esto también se considera cierto. ¿Por qué? ¿Cuál es la 'lógica' en inglés natural detrás de esto? Me deja boquiabierto.

Los humanos son malos con la lógica hasta que tienen que emplearla para resolver los asuntos humanos. Piense en " si entonces $A$$B$ " como una especie de promesa: "Te prometo que si haces , haré B ". Tal promesa dice nada acerca de lo que podría hacer si usted no puede hacer una . De hecho, podría hacer B de todos modos, y eso no$A$$B$$A$$B$ me haría mentiroso.

Por ejemplo, supongamos que tu madre te dice:

Si limpias tu habitación, haré panqueques.

Y déjenos decir que no limpió su habitación, pero cuando entró a la cocina su mamá estaba haciendo panqueques. Pregúntate si esto hace que tu madre sea una mentirosa. ¡No es asi! Sería una mentirosa solo si limpiabas la habitación pero se negaba a hacer panqueques. Puede haber otras razones por las que decidió hacer panqueques (tal vez su hermana limpió su habitación). Tu mamá no te dijo "Si no limpias la habitación, no haré panqueques", ¿verdad?

Entonces si digo

"Si el sol es verde, entonces la hierba es verde".

eso no me hace mentiroso. El sol no es verde (no limpiaste la habitación), pero el pasto resultó ser verde de todos modos (pero tu mamá hizo panqueques de todos modos).

Es una convención: podríamos usar una diferente, pero esta es conveniente. Esto es lo que dice Terence Tao :

Esto se discute en el Apéndice A.2 de mi libro [Análisis 1]. La noción de implicación utilizada en matemáticas es la de implicación material, que en particular asigna un valor verdadero a cualquier implicación vacía. Por supuesto, se podría usar una convención diferente para la noción de implicación, sin embargo, la implicación material es muy útil con el fin de probar teoremas matemáticos, ya que permite utilizar implicaciones como "si A, entonces B" sin tener que verificar primero si A es cierto o no. La implicación material también obedece a una serie de propiedades útiles, como la especialización: si, por ejemplo, se sabe por cada x que P (x) implica Q (x), entonces se puede especializar esto a un valor específico de $x$, diga 3 y concluya que P (3) implica Q (3). Sin embargo, tenga en cuenta que al hacerlo, una implicación no vacía puede convertirse en una implicación vacía. Por ejemplo, sabemos que implica x 2 ≥ 25 para cualquier número real x ; especializándolo al número real 3, obtenemos la implicación vacía de que 3 ≥ 5 implica 3 2 ≥ 25 .$x \geq 5$$x^2 \geq 25$$x$$3 \geq 5$$3^2 \geq 25$

La forma en que me gusta pensar en la implicación material es la siguiente: la afirmación de que A implica B es solo decir que "B es al menos tan cierto como A". En particular, si A es verdadero, entonces B tiene que ser verdadero también; pero si A es falso, entonces la implicación material permite que B sea verdadero o falso, por lo que la implicación es verdadera sin importar cuál sea el valor de verdad de B.

"A implica B" significa (corto) "si A es verdadero, entonces B es verdadero".

Significa (un poco más) "si A es verdadero, entonces afirmo que B es verdadero; si A es falso, entonces no hago ningún reclamo sobre B".

Ahora tome "Si el sol es verde, entonces la hierba es verde".

En la forma larga se traduce como "Si el sol es verde, entonces afirmo que la hierba es verde; si el sol no es verde, entonces no pretendo el color de la hierba". El sol no es verde, así que no pretendo el color de la hierba.

Pongamos un ejemplo. Supongamos que queremos expresar que es el único elemento del conjunto S que satisface la propiedad P . Entonces podemos escribir ∀ x ∈ $a$$S$$P$ Esto indica que cualquier elemento de x que satisfaga P debe ser igual a a . No pretende nada acerca de los elementos que no correspondan a P . Si b no satisface a P y es diferente de a, entonces P ( b ) es falso y b = a es falso, entonces P ( b ) ⇒ b = a es verdadero, tal como en su ejemplo.

Es importante tener en cuenta que muchas formas de lógica no tienen un concepto de cronología o causalidad. Si algo es cierto, entonces, dentro de su contexto, lo ha sido y seguirá siendo cierto para siempre. Decir que X implica Y no significa en ningún sentido que X hará que Y sea cierto. Simplemente significa que X no puede ser verdadero sin que Y también sea verdadero, e Y no puede ser falso sin que X también sea falso.

Describir de manera útil las relaciones causales en el mundo real requiere algo más allá de las construcciones utilizadas en la lógica "atemporal". Un concepto como "Para cualquier acción Y tal que X haga que Y sea razonable, Y se considerará razonable" puede ser útil en un universo causal incluso si X pudiera ser falso, pero el operador de implicación explota completamente en tales casos. Si uno dijera "X implica que Y se considerará razonable" y resultó que X nunca fue cierto, eso implicaría que todas las acciones se considerarán razonables.

No estoy seguro de qué formas de lógica incluyen los constructos necesarios para permitir enunciados que involucren causalidad unidireccional, pero reconocer que la definición lógica de "implica" no reconoce los conceptos de tiempo y causalidad debería facilitar la comprensión de por qué se comportan en forma contra-intuitiva.

Al usar Implication In English no se trata de las cosas u objetos que consideramos.

$sun$$green$$grass$$green$ .

El sol es solo un objeto aquí, no le hagas ningún vínculo emocional, ya que un sol no puede ser verde.

$S$$G$$GG$ . Ahora vea la oración Si la S es G, entonces GG es G.

$->$ {GG-> G}}

Esto parece menos confuso que escribir en inglés.

Para poner su cabeza en el lugar correcto para mi respuesta, quiero mencionar lo que me gusta llamar el Teorema de los Monos Voladores, o lo que Wikipedia le gusta llamar el Principio de Explosión , que establece:

$2+2=4$ y $2+2=5$ luego $4=5$, Lo que significa que $0=1$o podría significar que $16=25$, etc., y básicamente puede generar cualquier igualdad que desee. Es por eso que hay tantos trucos que resultan en$1=0$ o $1=-1$al abusar de una división oculta por cero , porque no puedes dividir por cero para que puedas hacer realidad lo que quieras.

Una vez que estamos en este reino donde sabemos $p$es falso, ya no estamos en la realidad. Estamos en una dimensión alternativa donde el Babel Fish es real, el negro es blanco y ten cuidado con el paso de cebra. Entonces, dado que ya no estamos en realidad, por supuesto, la afirmación podría ser cierta. Específicamente, puedo usar lo falso que supongo para probar lo que quiera. Asi que por su puesto$F \rightarrow T$ y $F \rightarrow F$ son ambas afirmaciones verdaderas.