Teoría de dominios y polimorfismo

La teoría del dominio ofrece una teoría sorprendente de la computabilidad en presencia de tipos simples. Pero cuando se agrega el polimorfismo paramétrico, no parece haber una buena teoría que explique qué está pasando tan bien como la teoría del dominio explica la computación sobre tipos simples. Ciertamente, no esperaría que exista tal cosa para el Sistema-F porque no existen modelos teóricos establecidos del Sistema-F. ¿Qué pasa con una restricción del Sistema-F que tiene predicción y tiene una jerarquía universal? ¿Se ha estudiado esto? ¿Existe una buena teoría de dominio que se aplique a ella? Yendo más lejos, ¿qué pasa con los tipos dependientes? ¿Puede la teoría de dominio mezclarse de alguna manera con débil$\omega$-groupoids para lograr algo?

Hay muchas maneras de modelar el polimorfismo a través de la teoría de dominios, permítanme describir uno que es fácil de entender, para que pueda pensarlo usted mismo. Es un "modelo PER".

Tome cualquier modelo de lo no tipificado $\lambda$-cálculo, por ejemplo un dominio $D$ tal que $D \to D$ es un retracto de $D$ (por ejemplo, tome $D$ tal que $D \cong \mathbb{N}_\bot \times (D \to D))$. Dejar$\Lambda : D \to (D \to D)$ y $\Gamma : (D \to D) \to D$ ser la retracción y la sección, respectivamente.

Vamos a interpretar los tipos como relaciones de equivalencia parcial (PER) en $D$. Recuerde que un PER es una relación simétrica y transitiva, pero que no necesita ser reflexiva. A cada tipo$\tau$ así asignamos un PER $\sim_\tau$. Pensar en$x \sim_\tau x$ como "$x$ es un elemento de $\tau$"y $x \sim_\tau y$ como "$x$ y $y$ son iguales hasta $\tau$ está preocupado ".

Podemos tener algunos tipos básicos (pero no es necesario), por ejemplo, si nos aseguramos de que $\mathbb{N}_\bot$ es un subdominio de $D$ a través de una incrustación $\iota : \mathbb{N} \to D$ entonces podemos definir $\sim_\mathtt{nat}$ por

$$x \sim_\mathtt{nat} y \iff \exists n \in \mathbb{N} . x = \iota(n) = y.$$

PERs dados $\sim_\tau$ y $\sim_\sigma$, defina el espacio de funciones PER $\sim_{\tau \to \sigma}$ por

$$x \sim_{\tau \to \sigma} y \iff \forall z, w \in D . z \sim_\tau w \Rightarrow \Lambda(x)(z) \sim_\sigma \Lambda(y)(w)$$

Los términos se interpretan como sin tipo $\lambda$-cálculos como uno los interpretaría normalmente en $D$.

Aquí está el remate. Puede interpretar el polimorfismo como una intersección de PER, es decir:

$$x \sim_{\forall X. \tau(X)} y \iff \text{for all PERs $\approx$, $x \sim_{\tau(\approx)} y$}.$$ Podemos calcular el PER correspondiente a $\forall X. X$: es la intersección de todos los PER, pero será el PER vacío. Calculador$\forall X . X \to X$Es un ejercicio interesante. Calculador$\forall X . X \to X \to X$ es un ejercicio difícil (que me mantuvo ocupado durante una semana cuando era estudiante de teoría de dominios).

Si queremos recurrencia en nuestro idioma, entonces debemos tener en cuenta los puntos fijos. Una posibilidad es restringir los PER a aquellos que contienen$\bot_D$y están cerrados bajo suprema de cadenas crecientes. Más precisamente, tome solo esos PER$\approx$ para cual

• $\bot_D \approx \bot_D$y
• Si $x_0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots$ y $y_0 \leq y_1 \leq y_2 \leq \cdots$ están aumentando las cadenas en $D$ tal que $x_i \approx y_i$ para todos $i$, entonces $\sup_i x_i \approx \sup_i y_i$.

Ahora podemos interpretar aplicando el teorema de Kanster-Tarski sobre la existencia de puntos fijos, tal como lo hacemos en la teoría del dominio ordinario. Esta vez, no está vacío, ya que contiene precisamente .$\mathtt{fix}_{\tau} : (\tau \to \tau) \to \tau$$\forall X . X$$\bot_D$

Roy Crole da una buena explicación de cómo usar la teoría de dominios para modelar el polimorfismo de tipos en su libro Categorías para tipos , específicamente en la sección 5.6.