Literatura sobre un enfoque ingenuo para el isomorfismo gráfico mediante la inspección de polinomios de matrices de adyacencia

Describo un enfoque para el isomorfismo gráfico que probablemente tiene falsos positivos, y tengo curiosidad por saber si hay literatura que indique que no funciona.

Dadas dos matrices de adyacencia , un método ciertamente ingenuo para verificar el isomorfismo es verificar si para cada fila u de G , hay una fila v de G que es una permutación de la fila u , denotada por G [ u ] ∼ H [ v ] . Un poco más estricta es la pregunta, ¿hay un "isomorfismo local" π para el cual G [ u ] ∼ H [ π ( u ) $G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$para todas las filas La producción de un isomorfismo local se puede hacer en tiempo polinomial construyendo una matriz A con A [ u , v ] = ( G [ u ] ∼ H [ v ] ) ; entonces G y H son localmente isomórficos si A tiene una cubierta de ciclo, y cada cubierta de ciclo es un isomorfismo local.$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$$A$

Todos los gráficos regulares engañan a este método, obviamente, por lo que un enfoque un poco menos ingenuo es calcular las potencias de las matrices y verificar si hay isomorfismo local, explotando el hecho de que tienes múltiples matrices configurando A [ u , v ] = 0 cuando encuentre cualquier potencia tal que G k [ u ] ≁ H k [ v $G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$y verificando la cobertura del ciclo solo al final. Un enfoque aún menos ingenuo es encontrar un conjunto de polinomios, de hecho un conjunto de circuitos aritméticos, y establecer cuando encontramos cualquier polinomio p con p ( G ) [ u ] ≁ p ( H ) [ v ] .$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

Esto me parece un enfoque increíblemente ingenuo para el isomorfismo gráfico, por lo que estoy seguro de que alguien ya lo ha investigado y demostrado un teorema como

$n$$n\times n$$G, H$$\pi$$p$$p(G)$$p(H)$$p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$

Pregunta: ¿Existe tal teorema? He buscado en la literatura y no puedo encontrarla.

$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$algoritmo para isomorfismo gráfico. Si tales polinomios (o circuitos aritméticos) son fáciles de adivinar, entonces tenemos un algoritmo coRP . Si siempre existe una (familia de) circuitos aritméticos para presenciar isomorfismo no local, entonces esto proporciona un algoritmo coNP .

Tenga en cuenta que podemos evitar el problema de que las entradas de matrices de alta potencia crecen demasiado calculando los polinomios sobre campos pequeños, por ejemplo, calculando módulos primos pequeños. En un algoritmo coNP , el probador puede proporcionar estos primos.

Sí, existe tal teorema, más o menos. Básicamente establece que el procedimiento de Weisfeiler-Lehman k-dimensional subsume (es decir, domina) todos los enfoques combinatorios conocidos para las pruebas de isomorfismo gráfico. (Su propuesta concreta debe incluirse en el procedimiento Weisfeiler-Lehman bidimensional, si no me equivoco). Para cada k fija, hay una clase de contraejemplos del procedimiento Weisfeiler-Lehman k-dimensional conocido como Cai-Fürer -Construcción Immerman.

La primera vez que aprendí los conceptos básicos del procedimiento Weisfeiler-Lehman y la construcción de Cai-Fürer-Immmerman

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

Hay mucho más que aprender sobre el procedimiento Weisfeiler-Lehman de lo que se describe allí, pero al menos el tratamiento de la construcción Cai-Fürer-Immmerman es completo y suficiente para su propósito. " El Procedimiento Weisfeiler-Lehman ", de Vikraman Arvind, es un breve ensayo reciente que pretende ser una invitación al tema.

Quizás el punto crucial que debo sacar de mi respuesta es que si encontrara un método de prueba de isomorfismo puramente combinatorio (como el que describe en su pregunta), que no está subsumido (es decir, dominado) por el procedimiento k-dimensional de Weisfeiler-Lehman, entonces esto sería un gran avance en sí mismo, independientemente de si el método sería realmente útil.