Reduce el siguiente problema a SAT

Aquí está el problema. Dado , donde cada T i ⊆ { 1 , ... , n } . ¿Hay un subconjunto S ⊆ { 1 , ... , n } con un tamaño máximo de k tal que S ∩ T i ≠ ∅ para todo i ? Estoy tratando de reducir este problema a SAT. Mi idea de una solución sería tener una variable x $k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$para cada uno de 1 a . Para cada T i , cree una cláusula ( x i 1 ∨ ⋯ ∨ x i k ) si T i = { i 1 , ... , i k } . Entonces y todas estas cláusulas juntas. Pero esto claramente no es una solución completa ya que no representa la restricción que S debe tener como máximo k elementos. Sé que debo crear más variables, pero simplemente no estoy seguro de cómo. Entonces tengo dos preguntas:$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$$k$

1. ¿Está mi idea de solución en el camino correcto?
2. ¿Cómo deben crearse las nuevas variables para que puedan usarse para representar la restricción de cardinalidad ?$k$

Parece que está tratando de calcular una hipergrafía transversal de tamaño . Es decir, { T 1 , ... , T m } es su hipergrafía, y S es su transversal. Una traducción estándar es expresar las cláusulas como lo ha hecho, y luego traducir la restricción de longitud en una restricción de cardinalidad.$k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

Por lo tanto, utilice su codificación existente, es decir, y luego agregue cláusulas que codifiquen ∑ 1 ≤ i ≤ n x i ≤ k .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

es una restricción de cardinalidad. Hay varias traducciones de restricciones de cardinalidad diferentes al SAT.$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

La traducción de restricción de cardinalidad más simple pero bastante grande es solo . De esta manera, cada disyunción representa la restricción ¬ ⋀ i ∈ X x i - para todos los subconjuntos X de { 1 , ... , n $\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$de tamaño k + 1. Es decir, nos aseguramos de que no haya forma de que se puedan establecer más de k variables. Tenga en cuenta que este no es un tamaño polinómico en $k$

Algunos enlaces a documentos sobre traducciones de restricciones de cardinalidad más eficientes en espacio que son de tamaño polinómico en $k$ :

• Traducción de restricciones pseudobooleanas a SAT - Niklas Eén y Niklas Sörensson, JSAT vol 2 (2006), pg 1-26 (una buena encuesta).
• Eficaz codificación CNF de restricciones de cardinalidad booleana : Olivier Bailleux y Yacine Boufkhad, Proceedings of Principles and Practice of Restraint Programming 2003, LNCS vol 2833, pg 108-122 (una traducción agradable, bastante fácil de implementar).
• Hacia una codificación CNF óptima de restricciones de cardinalidad booleana - Carsten Sinz - Procedimientos de principios y práctica de programación de restricciones 2005, LNCS 3709, pg 827-831.
• Hacia robustas codificaciones CNF de restricciones de cardinalidad - Joao Marques-Silva e Inês Lynce, Procedimientos de principios y práctica de programación de restricciones 2007, LNCS 4741, pg 483-497.

Si realmente está interesado en resolver tales problemas, tal vez sea mejor formularlos como problemas pseudo-booleanos (vea el artículo wiki sobre problemas pseudo-booleanos ) y use solucionadores pseudo-booleanos (vea competencia pseudo-booleana ). De esa manera, las restricciones de cardinalidad son solo restricciones pseudobooleanas y son parte del lenguaje; es de esperar que el solucionador pseudobooleano las maneje directamente y, por lo tanto, de manera más eficiente.

$k$

$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

Supongo que está buscando una reducción explícita, pero si no, siempre puede recurrir al Teorema de Cook-Levin .