si (λ x. xx) tiene un tipo, ¿entonces el sistema de tipos es inconsistente?

Si un sistema de tipos puede asignar un tipo a λ x . x x, o al que no termina (λx . x x) (λ x . x x), ¿entonces ese sistema es inconsistente como consecuencia? ¿Todos los tipos bajo ese sistema están habitados? ¿Puedes probar que es falso?

Ciertamente, asignando un tipo a no es suficiente para la inconsistencia: en el sistema F , podemos derivar λ x . x x : ( ∀ X . X ) → ( ∀ X . X $\lambda x. x\ x$$F$

de una manera bastante directa (¡este es un buen ejercicio!). Sin embargo, puede no estar bien escrito en este sistema, suponiendo ω -consistency de segunda aritmética orden, ya que esto implica que tales términos así-tecleado están normalizando.$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

Además, el sistema es consistente. Esto se sigue de cualquiera de normalización, como se puede mostrar que cualquier término de tipo ∀ X . X no puede tener una forma normal, o un argumento mucho más simple, en el que se asigna cada tipo un conjunto, ya sea ∅ o { ∅ } y se puede demostrar que todos los tipos derivables se asignan { ∅ } , y ∀ X . A X se le asigna ∅ (y, por lo tanto, no es derivable).$F$$\forall X.X$$\varnothing$$\{\varnothing\}$$\{\varnothing\}$$\forall X.X$$\varnothing$

El último argumento puede llevarse a cabo en aritmética de primer orden. El hecho de que puede estar bien tipado en un sistema consistente, puede verse como algo perturbador y es una consecuencia de la impredicatividad de los sistemas . No debería sorprendernos que algunas personas cuestionen la confiabilidad de los sistemas de lógica impredecibles. Sin embargo, hasta ahora no se han encontrado inconsistencias en tales sistemas.$\lambda x.x\ x$

$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

Se pueden encontrar más detalles en mi respuesta a una pregunta relacionada: /cstheory//a/31321/3984