¿En qué condiciones es K-significa agrupación de transformación invariante?

Dado un conjunto de puntos de datos donde ejecutamos K-means en y obtenemos los grupos .$X = \{x_1, x_2, \ldots, x_m\}$$x_i \in \mathbb{R}^d$$X$$c_1, c_2, \ldots, c_k$

Ahora, si creamos un nuevo conjunto de datos donde y y ejecutamos K-means en para obtener los clústeres .$Y = \{y_1, y_2, \ldots, y_m\}$$y_i = Ax_i + b$$y_i \in \mathbb{R}^d$$Y$$g_1, g_2, \ldots g_k$

¿En qué condiciones de y estamos garantizado para conseguir los mismos grupos?$A$$b$

Supongamos que K-means utiliza la distancia euclidiana y tiene las mismas condiciones iniciales en ambos algoritmos, es decir, si los centros iniciales para X son entonces los centros iniciales para Y son donde .$c^0_1, \ldots, c^0_k$$g^0_1, \ldots, g^0_k$$g^0_i = Ac^0_i + b$

Hasta ahora he pensado que tiene que ser de rango completo puede ser cualquier vector. Sin embargo, no he podido probarlo.$A$$b$

La respuesta depende de su algoritmo K-means, pero lo que sigue debería funcionar para algoritmos estándar.

Obtendrá el mismo resultado si su transformación cumple dos condiciones:$T$

1. Conserva distancias: , donde es su métrica,.$d(z,w) = d(T(z),T(w))$$d$$d(z,w) = \|z-w\|$
2. Conserva promedios: si es una combinación convexa que .$\sum_i p_i z_i$$T(\sum_i p_i z_i) = \sum_i p_i T(z_i)$

Puede verificar esto revisando el algoritmo, mostrando que siempre toma las mismas decisiones.