Probar que el idioma que consta de todas las cadenas en algún idioma tiene la misma longitud que alguna cadena en otro idioma es regular

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Así que llevo unos días rascándome la cabeza sobre este problema. Dado un lenguaje y que es regular, demuestre que el lenguaje que consiste en todas las cadenas en cuya longitud es igual a alguna cadena en es un lenguaje regular. $A$ $B$ $L$ $A$ $B$

En forma de ecuación:

L = {x \in A ∣ \exists y \in B s.t. | x | = | y |}

$L = \{x \in A \mid \exists y \in B \text{ s.t. } |x| = |y| \}$

Mi pensamiento inicial fue tratar de encontrar algunos DFA para ambos idiomas y y mapear los dos estados entre sí y, con suerte, obtener una relación 1: 1 de esa manera puedo generar un nuevo DFA que demuestre que es regular. Pero luego me di cuenta de que y no tienen que estar sobre el mismo conjunto de símbolos. $A$ $B$ $L$ $A$ $B$

Creo que la forma correcta de resolver esto es usar las propiedades de cierre del lenguaje normal, pero no estoy seguro de cómo comenzar / usar las propiedades para "longitudes" de cadenas en lugar de las cadenas en sí.

¿Podría alguien señalarme en la dirección correcta?

— Jubilous
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Recuerde (o presente) la prueba de

$\qquad \displaystyle L_1, L_2 \in \mathsf{REG} \implies L_1 \cap L_2 \in \mathsf{REG}$ .

¿Ves cómo modificar la prueba para tu configuración?

la igualdad de longitudes, una construcción para un autómata para para dado, arbitrario sobre .

$\qquad \displaystyle L_l = \{ w \in \Sigma^* \mid \exists x \in L.\, |x|=|w|\}$

$L \in \mathsf{REG}$ $\Sigma$

Ves la conexion?

Ahora tenga en cuenta que . $L = A \cap B_l$

— Rafael
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Sugerencias: supongamos que conoce todas las diferentes longitudes de palabras en , . Por el momento, supongamos que es finito. $B$ $len(B) = \{ \ell_1, \ell_2, \ell_3, ... \}$

¿Puedes usar este conocimiento para construir un DFA para ? ^{(sugerencia: intersección o construcción de "producto cruzado")} $A$

¿El alfabeto de incluso importa? $B$

A continuación, podría ser que el conjunto de longitudes sea infinito. Luego mire esta pregunta que también debería resolver ese asunto. $len(B)$

— Sonó.
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La forma de propiedad de cierre, por lo que no hay autómatas (explícitos). Los lenguajes regulares están cerrados bajo morfismos, morfismos inversos e intersección (con lenguajes regulares).

Deje y sean los alfabetos de y . Deje que sea el morfismo que asigna cada letra a . Entonces codifica el conjunto de longitud de , y consta de (todas) cadenas que tienen la misma longitud que las cadenas de , pero con el alfabeto de la . Finalmente, observamos que . $\Sigma_A$ $\Sigma_B$ $A$ $B$ $h_X:\Sigma_X^* \to \{1\}^*$ $a\in\Sigma_X$ $1$ $h_B(B) \subseteq \{1\}^*$ $B$ $h_A^{-1}(h_B(B))$ $B$ $A$ $L= A\cap h_A^{-1}(h_B(B))$

Ahora para la bonificación . También funciona para y sin contexto . Sin embargo, necesitamos una propiedad adicional: si está libre de contexto, entonces es regular (!) que todos los lenguajes libres de contexto 'unarios' (= alfabeto de una sola letra) son regulares, una consecuencia del teorema de Parikh . Por lo tanto, también es regular y tiene contexto. $A$ $B$ $B$ $h_B(B)$ $h_A^{-1}(h_B(B))$ $L$

— Hendrik Jan
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