¿Qué es la inducción-inducción?

¿Qué es la inducción-inducción ?

Los recursos que encontré son:

el libro de HoTT , al final del capítulo 5.7.
Artículo de nLab
un artículo llamado definiciones inductivas-inductivas
esta publicación de blog también menciona tipos inductivos-inductivos

Las dos primeras referencias son demasiado breves para mí, y las dos últimas son demasiado técnicas. ¿Alguien puede explicarlo en términos simples? Sería mejor si hay código Agda.

type-theory induction inductive-datatypes

— 盛安安
fuente

Hay código Agda en su cuarta cita.

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

Claro, pero sería muy difícil leer esa gran cantidad de código. Y (supongo) súper fácil con solo ver 1 o 2 ejemplos.

— 盛安安

Suplemento 2016-10-03: Mezclé inducción-inducción e inducción-recursión (¡no la primera vez que hice eso!). Mis disculpas por el desastre. Actualicé la respuesta para cubrir ambos.

Encuentro las explicaciones en el artículo de Forsberg & Setzer Una axiomatización finita de definiciones inductivo-inductivas esclarecedoras.

Inducción-recursión

Una definición inductiva-recursiva es aquella en la que definimos un tipo $A$ y una familia de tipos $B : A \to \mathsf{Type}$ simultáneamente de una manera especial:

$A$ se define como un tipo inductivo.
$B$ se define por la recursividad en $A$ .
Fundamentalmente, la definición de $A$ puede utilizar $B$ .

Sin el tercer requisito, primero podríamos definir $A$ y luego $B$ separado .

Aquí hay un ejemplo de bebé. Defina $A$ inductivamente para tener los siguientes constructores:

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

El tipo de familia $B$ se define por

$B(a) = \mathtt{bool}$
$B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$

$A$

a : A .

$a : A.$

B (a)

$B(a)$

b o o l

$\mathtt{bool}$

ℓ (a, f a l s e)

$\ell(a, \mathtt{false})$

ℓ (a, t r u e)

$\ell(a, \mathtt{true})$

A

$A$

B (ℓ (a, f a l s e)) = B (ℓ (a, t r u e)) = n a t

$B(\ell(a, \mathtt{false})) = B(\ell(a, \mathtt{true})) = \mathtt{nat}$

n : n a t

$n : \mathtt{nat}$

ℓ (ℓ (a, f a l s e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n) : A$

ℓ (ℓ (a, t r u e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n) : A$

B (ℓ (ℓ (a, t r u e), n)) = n a t

$B(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n)) = \mathtt{nat}$

m : n a t

$m : \mathtt{nat}$

ℓ (ℓ (ℓ (a, t r u e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n), m) : A$

ℓ (ℓ (ℓ (a, f a l s e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n), m) : A$

A

$A$

Inducción-inducción

$A$ $B : A \to \mathsf{Type}$

$A$
$B$ $A$
$A$ $B$

$B$

B (c (\dots)) = \dots

$B(\mathsf{c}(\ldots)) = \cdots$

c (\dots)

$\mathsf{c}(\ldots)$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

$A$

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

$B$

$\mathsf{Tru} : B(a)$
$\mathsf{Fal} : B(a)$
$x : A$ $y : B(x)$ $\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
$x : A$ $y : B(x)$ $z : B(\ell(x,y))$ $\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$

$B$ $B(a)$ $B(\ell(x,y))$

— Andrej Bauer
fuente

¿Por qué demonios alguien definiría tales tipos de datos D:

— 盛安安

Para enseñar qué es un tipo inductivo-inductivo. Podría darte un ejemplo real, a saber, un universo tipo, pero eso sería confuso.

— Andrej Bauer el

@AndrejBauer Esto se parece más a la inducción-recursión para mí. Inducción-inducción es cuando la familia de tipos se define como un tipo inductivo .

— gallais

Vaya, tienes toda la razón. Lo arreglaré.

— Andrej Bauer el

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$\ell$