Intuición detrás de la puerta de Hadamard

Estoy tratando de enseñarme sobre computación cuántica, y tengo una comprensión decente del álgebra lineal.

Atravesé la puerta NOT, que no estaba tan mal, pero luego llegué a la puerta Hadamard. Y me quedé atrapado. Principalmente porque si bien "entiendo" las manipulaciones, no entiendo lo que realmente hacen o por qué querrías hacerlas, si eso tiene sentido.

Por ejemplo, cuando la puerta Hadamard toma , da . ¿Qué significa esto? Para la puerta NOT, toma y da . No hay nada claro sobre eso; da el "opuesto" del bit (para la superposición, toma y da ) y entiendo por qué eso es útil; por las mismas razones (básicamente) que es útil en una computadora clásica. Pero, ¿qué (por ejemplo) está haciendo la puerta Hadamard geométricamente a un vector ? ¿Y por qué es útil esto?| 0 ⟩ + | 1 $|0\rangle$ | 0⟩| 1⟩alfa| 0⟩+ß| 1⟩ß| 0⟩+alfa| 1⟩[alphaß$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$$|0\rangle$$|1\rangle$$\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$$\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

La puerta de Hadamard podría ser su primer encuentro con la creación de superposición . Cuando dices que puedes relacionar la utilidad de la puerta Pauli (aka ) con su contraparte clásica, bueno, Hadamard es exactamente donde dejas el reino de lo analógico clásico. Sin embargo, es útil por exactamente la misma razón, es decir, que a menudo se usa para formar un conjunto universal de puertas (como clásico con y desplegado, o solo con despliegue).$X$NOTANDNOTNOR

Si bien una sola puerta es algo directamente útil en la generación de números aleatorios (como dijo Yuval Filmus), su verdadero poder se muestra cuando aparece en más casos o en combinación con otras puertas. Cuando tienes n qubits inicializados en | 0 ⟩ , por ejemplo, y aplicar una H a cada una de ellas en cualquier orden, lo que se obtiene es ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ⊗ ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ⊗ ... ⊗ ( | 0 ⟩ + |$H$$n$$|0\rangle$$H$ , que puede ampliarse a 1 / 2 n / 2 ⋅ ( | 00 ... 00 ⟩ + | 00 ... 01 ⟩ + | 00 ... 11 ⟩ + ... + | 11 ... 11 ⟩ ) Voilà, podemos ¡ahora evalúe funciones en 2 n entradas diferentes en paralelo! Este es, por ejemplo, el primer paso enel algoritmo de Grover.

$$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$$ $$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$$ $2^n$

Otro uso popular es un Hadamard en un qubit seguido de un CNOTcontrol con el qubit que acaba de colocar en una superposición. Ver: Eso es unestado de Bell, que es una piedra angular de diversasclave cuántica de distribución deprotocolos,la computación basada en la medición,el teletransporte cuánticoy muchas más aplicaciones. También puede utilizar unreiteradamente a los qubits objetivo más cero inicializados (con el mismo mando) para crear 2 - 1 / 2 ( | 00 ... 00 ⟩ + | 11 ... 11 ⟩ ) que se conoce como elestado GHZ

$$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$$ CNOT $$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$$ , también inmensamente útil.

$H^2 = I$CNOT

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NOT$x$$y$$z$CNOTen su computadora cuántica, simplemente construye un dispositivo clásico muy costoso e ineficaz.) Girar sobre algo inclinado es importante, y un ingrediente más que generalmente necesita también está girando en una fracción más pequeña del ángulo, como 45 ° (como en la Fase puerta de cambio ).

$\alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$0$$|\alpha|^2$$1$$|\beta|^2$$\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$

$\left| 0 \right\rangle$$\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

$\left| 0 \right\rangle$$\left| 1 \right\rangle$

Le sugiero que continúe leyendo sobre computación cuántica; cuando llegue a los algoritmos cuánticos (como Grover's y Shor's), comprenderá para qué son útiles todas estas puertas cuánticas.